关于x的方程ax²+bx+c=0 bx²+cx+a=0 cx²+ax+b=0有一个相同的实数根且a·b·c≠0 求a+b+c

关于x的方程ax²+bx+c=0 bx²+cx+a=0 cx²+ax+b=0有一个相同的实数根且a·b·c≠0 求a+b+c
关于x的方程ax²+bx+c=0 bx²+cx+a=0 cx²+ax+b=0有一个相同的实数根
且a·b·c≠0 求a+b+c

关于x的方程ax²+bx+c=0 bx²+cx+a=0 cx²+ax+b=0有一个相同的实数根且a·b·c≠0 求a+b+c
ax²+bx+c=0 (1)
bx²+cx+a=0 (2)
cx²+ax+b=0 (3)
(1)+(2)+(3)
(a+b+c)x²+(a+b+c)x+(a+b+c)=0
(a+b+c)(x²+x+1)=0
x²+x+1=(x+ 1/2)²+3/4,平方项恒非负,(x +1/2)²≥0 (x +1/2)²+3/4恒>0,要等式成立,只有
a+b+c=0

必然等于0，否则不成立，方法就是三个等式相加，如果a+b+c≠0,则x无实数解，只能等于0