已知数列{an}中满足a1=1,a(n+1)=2an+1 (n∈N*),证明n/2-1/3
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/24 03:44:47
已知数列{an}中满足a1=1,a(n+1)=2an+1 (n∈N*),证明n/2-1/3
已知数列{an}中满足a1=1,a(n+1)=2an+1 (n∈N*),证明n/2-1/3
已知数列{an}中满足a1=1,a(n+1)=2an+1 (n∈N*),证明n/2-1/3
a(n+1)=2an+1即
a(n+1)+1=2(an+1)=2^n(a1+1)=2^(n+1)
所以
a(n+1)=2^(n+1)-1
an=2^n-1
a1/a2+a2/a3+…+an/a(n+1)
=1/3+3/7+...+(2^n-1)/[2^(n+1)-1]
n/2-0.5{1/3+1/6+...+1/[2^(n+1)-2^(n-1)]+1/[2^(n+1)-2^(n-1)]}
=n/2-1/3
数学论证法：
假设 n/2-1/3
全部展开
数学论证法：
假设 n/2-1/3
∴a(n+1)/a(n+2)=a(n+1)/[2a(n+1)+1]<1/2.................................................................②
∴n/2-1/3+1/2< a1/a2+a2/a3+…+an/a(n+1)+a(n+1)/a(n+2)
收起
a(n+1)+1=2(an+1)
所以(an+1)/(a(n+1)+1)=1/2
a2=2a1+1=3
a1/a2+a2/a3+...an/a(n+1)
=1/3+1/2+1/2+..1/2 (这里有n-1个)
=1/3+(n-1)/2=n/2-1/6
所以n/2-1/3
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a(n+1)+1=2(an+1)
所以(an+1)/(a(n+1)+1)=1/2
a2=2a1+1=3
a1/a2+a2/a3+...an/a(n+1)
=1/3+1/2+1/2+..1/2 (这里有n-1个)
=1/3+(n-1)/2=n/2-1/6
所以n/2-1/3
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