a,b,c,d为正整数,a的5次方等于b的4次方,c的3次方等于d的2次方,c-a=19,求d-b=?

a,b,c,d为正整数,a的5次方等于b的4次方,c的3次方等于d的2次方,c-a=19,求d-b=?
a,b,c,d为正整数,a的5次方等于b的4次方,c的3次方等于d的2次方,c-a=19,求d-b=?

a,b,c,d为正整数,a的5次方等于b的4次方,c的3次方等于d的2次方,c-a=19,求d-b=?
a^5=b^4
所以a=b^4/a^4=(b/a)^4
a是整数,所以(b/a)^4是整数
所以b/a是整数
令b/a=k
b=ak
所以a^5=a^4k^4
a=k^4,b=ak=k^5
同理可得c=m^2,d=m^3
且k和m都是整数
c-a=m^2-k^4=19
(m+k^2)(m-k^2)=19
因为19是质数,职能分解为19*1
且m+k^2>m-k^2
所以m+k^2=19,m-k^2=1
m=10,k^2=9,k=3
所以d-b=m^3-k^5=1000-243=757

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a^5 = b^4 推出 a=(b/a)^4 由于a是正整数,所以 可记 x = b/a 是整数.
c^3 = d^2 推出 c=(d/c)^2 由于c是正整数,所以 可记 y = d/c 是整数.
又 c - a = y^2 - x^4 = 19 ...

全部展开

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a^5 = b^4 推出 a=(b/a)^4 由于a是正整数,所以 可记 x = b/a 是整数.
c^3 = d^2 推出 c=(d/c)^2 由于c是正整数,所以 可记 y = d/c 是整数.
又 c - a = y^2 - x^4 = 19 即: y = √(19+x^4) 其中x,y都是整数.
PS一下: 由关系: y = √(19+x^4) 其中x,y都是整数. 你可以找到答案了吗? 要找出还是累吧??? 不累? 佩服你一眼看出x=3 y=10 啊
那么,我问你,你能确定,是否还有其他答案呢???
************************ 答案关键 *************************
怎么得到答案呢?
对 y^2 = x^4 + 19 ,我们记 z=x^2 , y^2 = z^4 + 19
进一步, 记 X = z^2 , Y = y^2 那么 X,Y 都是平方数了. (你会问有什么用,继续看!!!)
设正数 N 是平方数,那么必然存在正整数 n ,使 N = ∑(2i-1) (i=1,2,3, ... ,n)
什么???等吗?有没搞错??? 不会啦,没错!!!!
因为 n^2 = (2n-1)+[2(n-1)-1]+[2(n-2)-1]+ ... +3+2+1 .
所以我们记: N(n)=(2n-1)+[2(n-1)-1]+[2(n-2)-1]+ ... +3+2+1 .
这样, N(n)-N(n-1)=2n-1 = 19 得到 n=10
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[答案]出来了!!! c=N(n)=n^2=100 , a=N(n-1)=(n-1)^2= 81 .
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这就确定没有其他答案了吗? 当然不了, 继续看!!!
[唯一性简单证明]:
奇数 个 连续奇数之和 等于 处于中心的奇数乘以奇数个数. 可表达为:(记奇数个数:i , i 为奇数)
S(i)=中心奇数*i , 显然是合数了,不是偶数.可19是素数.
而 偶数 个 奇数之和,是偶数. 可19是素数.
所以,答案不用考虑N(n)-N(n-1)以外的情况,如不用考虑N(n)-N(n-5)的情况.
唯一性得证.
************************ 给出答案 *************************
a=81
b=243
可见 a^5 = b^4 即: (3^4)^5 = (3^5)^4
c=100
d=1000
可见 c^3 = d^2
c-a = 100 - 81 = 19
d-b = 1000 -243 =757
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答案就是: d-b = 757
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