在平面直角坐标系中,矩形ABCD的顶点A,B,C的坐标分别为(0,0),(20,0),(20,10).在线段AC,AB上各有一动点M,N,当BM+MN为最小值时,点M的坐标是多少?
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/19 11:23:03
在平面直角坐标系中,矩形ABCD的顶点A,B,C的坐标分别为(0,0),(20,0),(20,10).在线段AC,AB上各有一动点M,N,当BM+MN为最小值时,点M的坐标是多少?
在平面直角坐标系中,矩形ABCD的顶点A,B,C的坐标分别为(0,0),(20,0),(20,10).在线段AC,AB上各有一动点M,N,当BM+MN为最小值时,点M的坐标是多少?
在平面直角坐标系中,矩形ABCD的顶点A,B,C的坐标分别为(0,0),(20,0),(20,10).在线段AC,AB上各有一动点M,N,当BM+MN为最小值时,点M的坐标是多少?
易求得直线AC解析式为：Y=(1/2)X;
设点B关于直线AC的对称点为P,则AC垂直平分线段BP；
设直线BP为：Y=-2X+b,则0=-40+b,b=40,即直线BP为:y=-2x+40.
把Y=-2x+40与y=(1/2)x联立方程组得：x=16,y=8;则线段BP中点的坐标为(16,8);
设点P为(r,t),则(r+20)/2=16,r=12;(t+0)/2=8,t=16;
所以点P为(8,16).
当点PN⊥X轴时,PN与AC的交点即为所要求的点M.
【点B与点P关于AC对称,则BM+MN=PM+MN=PN,而PQ⊥X轴,故点N到X轴所有连线中,垂线段最短.】
∴此时,BM+MN=PM+MN=PN=16……………………即最小值为16；
把X=12代入Y=(1/2)X得:Y=6,即此时点M为(12,6).
AC的方程是y=0.5x x的范围是0到20 那么M可以设为(x,0.5x)
所以BM的长是根号[(20-x)^2+(0.5x)^2] 一旦M确定那么MN最短的就是N和M具有同样的横坐标，也就是MN垂直与AB 所以MN长0.5x
所以BM+MN=根号[(20-x)^2+(0.5x)^2]+0.5x 求导吧，最直接。
令一阶导数[-2(20-x)+0.5x...
全部展开
AC的方程是y=0.5x x的范围是0到20 那么M可以设为(x,0.5x)
所以BM的长是根号[(20-x)^2+(0.5x)^2] 一旦M确定那么MN最短的就是N和M具有同样的横坐标，也就是MN垂直与AB 所以MN长0.5x
所以BM+MN=根号[(20-x)^2+(0.5x)^2]+0.5x 求导吧，最直接。
令一阶导数[-2(20-x)+0.5x]/[2×根号[(20-x)^2+(0.5x)^2]]+0.5=0
求得x=20 或者12 其中一个是最大值 一个是最小值。x=20的时候 BM+MN=20
x=12的时候BM+MN=16 所以最小值是16.此时M的坐标(12,6)
收起
楼上的解法是不是有点复杂啊，，我建议用几何法做，比坐标法简单，几何法能锻炼人，只要算出p到x轴y轴的距离就好了 AB‘和AB的对称轴是AC