在等腰直角三角形ABC中,∠BAC=90°,D,E分别为AB,AC边上的点,AD=AE,AF⊥BE交BC与点F,过点F作FG⊥CD叫BE的延长线与点G,叫AC与点M,（1）求证：△EGM为等腰三角形.（2）判断线段BG,AF与FG的数量关系,并证明
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/21 19:00:59
在等腰直角三角形ABC中,∠BAC=90°,D,E分别为AB,AC边上的点,AD=AE,AF⊥BE交BC与点F,过点F作FG⊥CD叫BE的延长线与点G,叫AC与点M,（1）求证：△EGM为等腰三角形.（2）判断线段BG,AF与FG的数量关系,并证明
在等腰直角三角形ABC中,∠BAC=90°,D,E分别为AB,AC边上的点,AD=AE,AF⊥BE交BC与点F,过点F作FG⊥CD叫BE的延长线与点G,叫AC与点M,（1）求证：△EGM为等腰三角形.（2）判断线段BG,AF与FG的数量关系,并证明你的结论
第一问可以不用了
第二问务必
在等腰直角三角形ABC中,∠BAC=90°,D,E分别为AB,AC边上的点,AD=AE,AF⊥BE交BC与点F,过点F作FG⊥CD叫BE的延长线与点G,叫AC与点M,（1）求证：△EGM为等腰三角形.（2）判断线段BG,AF与FG的数量关系,并证明
（1）∵等腰直角三角形ABC中,∠BAC=90°,∴AC=AB,∠ACB=∠ABC=45°,又∵AD=AE,∠CAD=∠BAE,∴△ACD≌△ABE（SAS）,∴∠1=∠3,∵∠BAC=90°,∴∠3+∠2=90°,∠1+∠4=90°,∴∠4+∠3=90°∵FG⊥CD,∴∠CMF+∠4=90°,∴∠3=∠CMF,∴∠GEM=∠GME,∴EG=MG,△EGM为等腰三角形．（2）线段BG、AF与FG的数量关系为BG=AF+FG．过点B作AB的垂线,交GF的延长线于点N．（见右图）∵BN⊥AB,∠ABC=45°,∴∠FBN=45°=∠FBA．∵FG⊥CD,∴∠BFN=∠CFM=90°-∠DCB,∵AF⊥BE,∴∠BFA=90°-∠EBC ,∠5+∠2=90°,由（1）可得∠DCB=∠EBC,∴∠BFN=∠BFA,又∵BF=BF,∴△BFN≌△BFA（ASA）,∴NF=AF,∠N=∠5,又∵∠GBN+∠2=90°,∴∠GBN=∠5=∠N,∴BG=NG,又∵NG=NF+FG,∴BG=AF+FG．望能采纳噢～
∵AD=AE,AB=AC,∠BAC为公共角
∴△BAE≌△CAD
∴∠ABE=∠ACD,
∴∠DCB=∠EBC
延长GF到H,使FH=AF,连接BH.
在△BAF,△BHF中，
AF=FH,BF为公共边，∠BFA=∠BFH(易证)
∴△BAF≌△BHF
∴∠BAF=∠BHF,∠ABF=∠HBF=45°
∵∠BAF=∠AEB=∠...
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∵AD=AE,AB=AC,∠BAC为公共角
∴△BAE≌△CAD
∴∠ABE=∠ACD,
∴∠DCB=∠EBC
延长GF到H,使FH=AF,连接BH.
在△BAF,△BHF中，
AF=FH,BF为公共边，∠BFA=∠BFH(易证)
∴△BAF≌△BHF
∴∠BAF=∠BHF,∠ABF=∠HBF=45°
∵∠BAF=∠AEB=∠EBF+45°，∠HBG=∠EBF+45°
∴∠GBH=∠BHF
∴GB=GH
∴BG=AF+FG
收起
BG=AF+FG
证明：过CP∥AB，AF的延长线于P，
∵AF⊥BE，∠BAC=90°，
∵∠BAE=∠ACP=90°，
∴∠ABE+∠BAE=90°，
∵AF⊥BE，
∴∠PAC+∠AEB=90°，
∴∠ABE=∠PAC，
∵AB=AC，
∴△ABE≌△ACP，
∵CP∥AB，
∴∠MCF=∠PCF，
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BG=AF+FG
证明：过CP∥AB，AF的延长线于P，
∵AF⊥BE，∠BAC=90°，
∵∠BAE=∠ACP=90°，
∴∠ABE+∠BAE=90°，
∵AF⊥BE，
∴∠PAC+∠AEB=90°，
∴∠ABE=∠PAC，
∵AB=AC，
∴△ABE≌△ACP，
∵CP∥AB，
∴∠MCF=∠PCF，
∴△MCF≌△PCF，
∴BE=AP．MF=PF，EG=MG，
则BE+EG=AP+MG=AF+FP+MG=AF+FM+MG．
收起
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