在直角三角形ABC中,角BAC=90度,AB
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2025/02/02 01:32:36
在直角三角形ABC中,角BAC=90度,AB
在直角三角形ABC中,角BAC=90度,AB
在直角三角形ABC中,角BAC=90度,AB
1）△PBM与△QNM相似吗?以图1为例说明理由：
（2）若∠ABC=60°,AB=4 3厘米．
①求动点Q的运动速度；
②设△APQ的面积为S（平方厘米＞,求S与t的函数关系式．
（1）相似．
证明：∵∠BMN=∠PMQ,
即∠BMP+∠PMN=∠PMN+∠NMQ,
∴∠PMB=∠NMQ,
∵△ABC与△MNC中,∠C=∠C,∠A=∠NMC=90°,
∴∠B=∠MNC,
∴△PBM∽△QNM；
（2）①在直角△ABC中,∠ABC=60°,AB=4 根号3厘米,
则BC=8 根号3cm,AC=12cm．
由M为BC中点,得BM=CM=4 根号3,
若BP= 根号3cm．MN=MC•tan30°=4cm．
NC= 8根号3/3cm．
∵△PBM∽△QNM,
∴ MN/BM= NQ/BP,
即NQ=1,
则求动点Q的运动速度是每秒钟1cm．
②AP=AB-BP=4 根号3- 根号3t,
AQ=AN+NQ=AC-NC+NQ=24- 8根号3/3+ 根号3/3t,
则△APQ的面积为S= 1/2AP•AQ= 1/2（4 根号3- 根号3t）（24- 8根号3/3+ 根号3/3t）,
即S= 1/2（4 根号3- 根号3t）（24- 8根号3/3+ 根号3/3t）．
（1）△PBM∽△QNM．理由如下：
如图1，∵MQ⊥MP，MN⊥BC（已知），
∴∠PMB+∠PMN=90°，∠QMN+∠PMN=90°，
∴∠PMB=∠QMN（等量代换）．
∵∠PBM+∠C=90°（直角三角形的两个锐角互余），∠QNM+∠C=90°（直角三角形的两个锐角互余），
∴∠PBM=∠QNM（等量代换）．
∴△PBM∽△QNM；
全部展开
（1）△PBM∽△QNM．理由如下：
如图1，∵MQ⊥MP，MN⊥BC（已知），
∴∠PMB+∠PMN=90°，∠QMN+∠PMN=90°，
∴∠PMB=∠QMN（等量代换）．
∵∠PBM+∠C=90°（直角三角形的两个锐角互余），∠QNM+∠C=90°（直角三角形的两个锐角互余），
∴∠PBM=∠QNM（等量代换）．
∴△PBM∽△QNM；
（2）∵∠BAC=90°，∠ABC=60°，
∴BC=2AB=8
3
cm．
又∵MN垂直平分BC，
∴BM=CM=4
3
cm．
∵∠C=30°，
∴MN=
3
3
CM=4cm；
①设Q点的运动速度为vcm/s．
如图1，当0＜t＜4时，由（1）知△PBM∽△QNM．
∴
NQ
BP
=
MN
MB
（相似三角形的对应边成比例），即
vt
3t
=
4
43
，
∴v=1；
如图2，当t≥4时，同理可得v=1．
综上所述，Q点运动速度为1cm/s．
②∵AN=AC-NC=12-8=4cm，
∴如图1，当0＜t＜4时，AP=AB-BP=4
3
-
3
t，AQ=AN+NQ=AC-NC+NQ=12-8+t=4+t，∴S=
1
2
AP•AQ=
1
2
（4
3
-
3
t）（4+t）=-
3
2
t2+8
3
；如图2，当t≥4时，AP=
3
t-4
3
，AQ=4+t，∴S=
1
2
AP•AQ=
1
2
（
3
-4
3
t）（4+t）=
3
2
t2-8
3
；综上所述，S=
-
32t2+8
3(0＜t＜4)32t2-8
3(t≥4)
；
（3）PQ2=BP2+CQ2．
证明如下：如图1，延长QM至点D，使MD=MQ．连接PD、BD．
∵BC、DQ互相平分，
∴四边形BDCQ为平行四边形，
∴BD∥CQ，BD=CQ（平行四边形的对边平行且相等）；
又∵∠BAC=90°，
∴∠PBD=90°，
∴PD2=BP2+BD2=BP2+CQ2，
∵PM垂直平分DQ，
∴PQ=PD，
∴PQ2=BP2+CQ2．
收起
第三问
你要问什么啊？都没提示
1.利用2个对应角分别相等证相似
2.利用相似的对应关系可求出所有线段
3.线段长度求面积