互为反函数的图像与性质高一选修课,
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/27 22:47:19
互为反函数的图像与性质高一选修课,
互为反函数的图像与性质
高一选修课,
互为反函数的图像与性质高一选修课,
一般地,如果x与y关于某种对应关系f（x）相对应,y=f（x）.则y=f（x）的反函数为y=f^-1（x）.
存在反函数的条件是原函数必须是一一对应的(即唯一的x对应唯一的y)
【反函数的性质】
（1）互为反函数的两个函数的图象关于直线y＝x对称；
（2）函数存在反函数的充要条件是,函数的定义域与值域是一一映射；
（3）一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致；
（4）一般的偶函数一定不存在反函数(但一种特殊的偶函数存在反函数,例f（x）=a（x=0）它的反函数是f（x）=0（x=a）这是一种极特殊的函数),奇函数不一定存在反函数.若一个奇函数存在反函数,则它的反函数也是奇函数.
⒈ 反函数的定义
一般地,设函数y=f(x)(x∈A)的值域是C,根据这个函数中x,y 的关系,用y把x表示出,得到x= (y). 若对于y在C中的任何一个值,通过x= (y),x在A中都有唯一的值和它对应,那么,x= (y)就表示y是自变量,x是自变量y的函数,这样的函数x= (y)(y∈C)叫做函数y=f(x)(x∈A)的反函数,记作x=f^-1(y). 反函数y=f^-1(x)的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域.
说明：⑴在函数x=f^-1(y)中,y是自变量,x是函数,但习惯上,我们一般用x表示自变量,用y 表示函数,为此我们常常对调函数x=f^-1(y)中的字母x,y,把它改写成y=f^-1(x),今后凡无特别说明,函数y=f(x)的反函数都采用这种经过改写的形式.
⑵反函数也是函数,因为它符合函数的定义. 从反函数的定义可知,对于任意一个函数y=f(x)来说,不一定有反函数,若函数y=f(x)有反函数y=f^-1(x),那么函数y=f^-1(x)的反函数就是y=f(x),这就是说,函数y=f(x)与y=f^-1(x)互为反函数.
⑶从映射的定义可知,函数y=f(x)是定义域A到值域C的映射,而它的反函数y=f^-1(x)是集合C到集合A的映射,因此,函数y=f(x)的定义域正好是它的反函数y=f^-1(x)的值域；函数y=f(x)的值域正好是它的反函数y=f^-1(x)的定义域
⑷上述定义用“逆”映射概念可叙述为：
若确定函数y=f(x)的映射f是函数的定义域到值域“上”的“一一映射”,那么由f的“逆”映射f^-1所确定的函数x=f^-1(x)就叫做函数y=f(x)的反函数. 反函数x=f^-1(x)的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域.