已知椭圆x的平方+2y的平方=4,AB为椭圆的弦且以M(1,1)为中点,求以AB为直径的圆的方程

已知椭圆x的平方+2y的平方=4,AB为椭圆的弦且以M(1,1)为中点,求以AB为直径的圆的方程
已知椭圆x的平方+2y的平方=4,AB为椭圆的弦且以M(1,1)为中点,求以AB为直径的圆的方程

已知椭圆x的平方+2y的平方=4,AB为椭圆的弦且以M(1,1)为中点,求以AB为直径的圆的方程
由题意得,AB的斜率必然存在,
故设A(x1,y1),B(x2,y2)
AB直线方程：y-1=k（x-1）,即y=kx+1-k=0
∵AB中点为M(1,1)
∴x1+x2=2
将AB方程代入椭圆的方程化简得：
（1+2k²）x²+（4k-4k²）x+2k²-4k-2=0,
∴x1+x2=(4k²-4k)/(1+2k²)=2
解得 k=-1/2,
则x1x2=(2k²-4k-2)/(1+2k²)=1/3
∴|AB|²=(x1-x2)²+(y1-y2)²
=(x1-x2)²+(kx1-kx2)²
=(1+k²)(x1-x2)²
=(1+1/4)[(x1+x2)²-4x1x2]
=5/4 *(4-4/3)=10/3
即|AB|=√30/3,|AB|/2=√30/6
∴以AB为直径的圆的圆心为（1,1）半径为√30/6,
则圆的方程为(x-1)²+(y-1)²=30/36=5/6