已知a、b、c为不等于零的实数,且a+b+c=0,求a(1/b+1/c)+b(1/c+1/a)+c(1/a+1/b)的值
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/25 00:11:37
已知a、b、c为不等于零的实数,且a+b+c=0,求a(1/b+1/c)+b(1/c+1/a)+c(1/a+1/b)的值
已知a、b、c为不等于零的实数,且a+b+c=0,求a(1/b+1/c)+b(1/c+1/a)+c(1/a+1/b)的值
已知a、b、c为不等于零的实数,且a+b+c=0,求a(1/b+1/c)+b(1/c+1/a)+c(1/a+1/b)的值
因为a+b+c=0 所以 a=-b-c
a(1/b+1/c)+b(1/c+1/a)+c(1/a+1/b)=a/b+a/c+b/c+b/a+c/a+c/b
=(b+c)a+(a+c)/b+(a+b)/c
把 a=-b-c 带入上面式子得：=（b+c）/(-b-c) + (-b-c+c)/b+(-b-c+b)/c
=-1+(-1)(-1)
=-3
∵a＋b＋c＝0
∴ a＋b＝－c, a＋c＝－b, b＋c＝－a
a（1/b＋1/c）＋b（1/a＋1/c）＋c（1/a＋1/b）
＝a（b＋c）/bc＋b（a＋c）＋c（a＋b）/ab
＝－a²/bc－b²/ac－c²/ab
＝－（a³＋b³＋...
全部展开
∵a＋b＋c＝0
∴ a＋b＝－c, a＋c＝－b, b＋c＝－a
a（1/b＋1/c）＋b（1/a＋1/c）＋c（1/a＋1/b）
＝a（b＋c）/bc＋b（a＋c）＋c（a＋b）/ab
＝－a²/bc－b²/ac－c²/ab
＝－（a³＋b³＋c³）/abc
＝－[（a＋b）³＋c³－3ab（a＋b）]/abc
＝－｛（a＋b＋c）[（a＋b）²－（a＋b）c＋c²]＋3abc｝/abc
＝－3abc/abc
＝－3.
收起
因为，a+b+c=0
所以，a=-b-c
所以，原式=(-b-c)(1/b+1/c)+b(1/c+1/a)+c(1/a+1/b)=-1-b/c-c/b-1+b/c+b/a+c/a+c/b
=-2+(b+c)/a=-2+(-a)/a=-3
= a/b+a/c+b/c+b/a+c/a+c/b
=(a+c)/b+(b+a)/c+(b+c)/a
=-1-1-1
=-3
原式加3，a(1/b+1/c)+b(1/c+1/a)+c(1/a+1/b) + 3
= a(1/b+1/c)+b(1/c+1/a)+c(1/a+1/b) + a/a + b/b + c/c
= (a+b+c)(1/a+1/b+1/c) = 0
原式为-3