设A为n阶反对陈矩阵,则E-A^2为正定矩阵,请证明之.

来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/22 04:05:53
设A为n阶反对陈矩阵,则E-A^2为正定矩阵,请证明之.设A为n阶反对陈矩阵,则E-A^2为正定矩阵,请证明之.设A为n阶反对陈矩阵,则E-A^2为正定矩阵,请证明之.先约定符号矩阵A的转置记为AT已

设A为n阶反对陈矩阵,则E-A^2为正定矩阵,请证明之.
设A为n阶反对陈矩阵,则E-A^2为正定矩阵,请证明之.

设A为n阶反对陈矩阵,则E-A^2为正定矩阵,请证明之.
先约定符号矩阵A的转置记为AT
已知：A是反对称阵,即AT=-A
想要证明矩阵E-A^2为正定阵,首先要说明它是对称阵：
矩阵E-A^2=E+A×(-A)=E+A×AT,这是一个对称阵,可以证明E+A×AT的转置就是它本身
因为（E+A×AT）T=ET+(A×AT)T=E+(AT)T × AT=E+A×AT
其次再来证明E-A^2=E+A×AT为正定阵,这需要用到以下一个结论：
两个正定矩阵的和仍然是正定阵（直接利用二次型章节中正定阵的定义,就可以证明）
利用这个结论,如果证明了E和A×AT都是正定阵,那么它们的和E+A×AT,即E-A^2就是正定阵
易得,E的正定性
下面证明A×AT是正定阵,依据正定的定义
对于任意的非零向量y,yT×（A×AT）×y=（yT×A）×（AT×y）=（AT×y）T ×(AT×y)这是向量(AT×y)和此向量的转置（AT×y）T之乘积,是实数的平方和,一定大于零,
因此A×AT是正定阵

设A为n阶反对陈矩阵,则E-A^2为正定矩阵,请证明之. 设A,A-E都是n阶正定矩阵,证明E-A^-1为正定矩阵 设A为n阶正定矩阵,则A^-1也为正定 设A是n阶实矩阵,E是n阶单位矩阵,则B=E+A^TA为正定矩阵则后面是要证的 设A为正定矩阵,则下列矩阵不一定为正定矩阵的是A.A^T B A+E C A^-1 D A-2E 设A为n阶正阶正定矩阵,证明A的伴随矩阵A*也是正定矩阵 设A为n阶实对称矩阵,且满足A^3-2A^2+4A-3E=O,证明A为正定矩阵 设A为n阶实对称矩阵,且满足A^3-2A^2+4A-3E=O,证明A为正定矩阵 设A为n阶正定矩阵,矩阵B与A相似,则B必为 A,实对称矩阵 B正定矩阵 C可逆矩阵设A为n阶正定矩阵,矩阵B与A相似,则B必为 A,实对称矩阵 B正定矩阵 C可逆矩阵 D正交矩阵 证明：A,B均为N阶正定矩阵,则A+B也为正定矩阵 设A为正定矩阵,证明|E+A|>1 设A正定矩阵,证明A^m为正定矩阵. 设A是n阶实矩阵,E是n阶单位矩阵,证则B=E+A^TA为正定矩阵 设A、B均为N阶实对称正定矩阵,证明：如果A—B正定,则B的逆阵减去A的逆阵正定. 设A为n阶实对称矩阵（1）证明:A的平方+E也为实对称矩阵(2)证明:A的平方+EWEI为正定阵(其中E为n阶单位矩阵 设A,B为两个n阶正定矩阵,证明:AB为正定矩阵的充要条件是AB=BA. 设A,B均为n阶正定矩阵,证明kA+lB也是正定矩阵,其中k,l为正数 设A为n阶实矩阵,证明若A非退化,则A'A是正定矩阵.