设A,B均为n阶矩阵,且（AB）^2 =E,则下列命题中可能错误的是（）A、（BA）^2 =EB、(A)-1=BC、r(A)=r(B)D、(A)-1=BAB主要要求讲解A、C的原因
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/25 11:25:37
设A,B均为n阶矩阵,且（AB）^2 =E,则下列命题中可能错误的是（）A、（BA）^2 =EB、(A)-1=BC、r(A)=r(B)D、(A)-1=BAB主要要求讲解A、C的原因
设A,B均为n阶矩阵,且（AB）^2 =E,则下列命题中可能错误的是（）
A、（BA）^2 =E
B、(A)-1=B
C、r(A)=r(B)
D、(A)-1=BAB
主要要求讲解A、C的原因
设A,B均为n阶矩阵,且（AB）^2 =E,则下列命题中可能错误的是（）A、（BA）^2 =EB、(A)-1=BC、r(A)=r(B)D、(A)-1=BAB主要要求讲解A、C的原因
对于A：因为(AB)^2=E,即 ABAB=E,右乘B逆得 ABA=B逆,再左乘A逆得
BA=A逆*B逆=(BA)逆,所以(BA)^2=E
对于B:取A=E,矩阵B是二阶阵满足 B11=根号2/2,B12=B21=B22=-根号2/2,容易验证 (AB)^2=E,但显然A逆不等于B.
对于C：因为ABAB=E,所以A,B必须都是满秩矩阵,即rank(A)=rank(B)=n,所以
r(A)=r(B).
对于D:左乘A逆即可.
所以,只有B可能错误.
答案错了吧.上面那个B的反例是对的吧?所以B可能错误.C的解释也没有问题,A或B不满秩时乘积是不可能满秩的.或者也可以这样想：A,B都可逆了,它们不是必须得满秩么?
很明显是B啦，楼上都举出反例了啊。
不过个人认为楼上的解答逻辑稍有不妥。应该先说明：
（AB）的特征值只能是1或-1，所以AB满秩。
r(AB)<=min{r(A),r(B)}
所以A和B各自满秩，即各自可逆。
然后再解题。
如果一上来就说左乘A的逆，右乘B的逆。貌似不妥。...
全部展开
很明显是B啦，楼上都举出反例了啊。
不过个人认为楼上的解答逻辑稍有不妥。应该先说明：
（AB）的特征值只能是1或-1，所以AB满秩。
r(AB)<=min{r(A),r(B)}
所以A和B各自满秩，即各自可逆。
然后再解题。
如果一上来就说左乘A的逆，右乘B的逆。貌似不妥。
收起