设A为m*n矩阵,B为n阶矩阵,且R(A)=n,证明：（1）若AB=O,则B=O;(2)若AB=A,则B=E
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/19 00:01:32
设A为m*n矩阵,B为n阶矩阵,且R(A)=n,证明：（1）若AB=O,则B=O;(2)若AB=A,则B=E
设A为m*n矩阵,B为n阶矩阵,且R(A)=n,证明：（1）若AB=O,则B=O;(2)若AB=A,则B=E
设A为m*n矩阵,B为n阶矩阵,且R(A)=n,证明：（1）若AB=O,则B=O;(2)若AB=A,则B=E
知识点:齐次线性方程组AX=0只有零解的充分必要条件是 r(A)=n
(1) 记B=(b1,b2,……,bn) ,由AB=0 ,知b1,b2,……,bn是Ax=0的解
因为 r(A)=n ,所以 Ax=0 只有零解
所以 b1=b2=...=bn=0
故 B = 0.
(2) 由AB=A,则 A(B-E) = 0
由(1)知 B-E = 0
所以 B=E.
记B=(b1,b2,……,bs) , 由AB=0 , 知b1,b2,……,bs是Ax=0的解
但并不能说b1,b2,……,bs构成了Ax=0的解空间S
解空间S: 1)S中的向量组线性无关
2)Ax=0的解都能由S中的向量线性表示
显然b1,b2,……,bs不一定线性无关,所以B不一定是Ax=0的解空间S
但当r(B)=r时,能说明b1,b...
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记B=(b1,b2,……,bs) , 由AB=0 , 知b1,b2,……,bs是Ax=0的解
但并不能说b1,b2,……,bs构成了Ax=0的解空间S
解空间S: 1)S中的向量组线性无关
2)Ax=0的解都能由S中的向量线性表示
显然b1,b2,……,bs不一定线性无关,所以B不一定是Ax=0的解空间S
但当r(B)=r时,能说明b1,b2,……,bs中有r个向量线性无关
即Ax=0的解空间S中至少有r个向量,即dimS≥r
由解空间维度的关系: dimS=n-r(A) ≥r
即n≥r(A)+r= r(A)+r(B)
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