1. 设A为n阶对称矩阵,P为n阶可逆矩阵,证明B=(P^T)AP也是对称矩阵,且R(A)=R(B)

来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/22 18:02:48
1.设A为n阶对称矩阵,P为n阶可逆矩阵,证明B=(P^T)AP也是对称矩阵,且R(A)=R(B)1.设A为n阶对称矩阵,P为n阶可逆矩阵,证明B=(P^T)AP也是对称矩阵,且R(A)=R(B)1.

1. 设A为n阶对称矩阵,P为n阶可逆矩阵,证明B=(P^T)AP也是对称矩阵,且R(A)=R(B)
1. 设A为n阶对称矩阵,P为n阶可逆矩阵,证明B=(P^T)AP也是对称矩阵,且R(A)=R(B)

1. 设A为n阶对称矩阵,P为n阶可逆矩阵,证明B=(P^T)AP也是对称矩阵,且R(A)=R(B)
B^T =[(P^T)AP]^T = (P^T) A^T P=(P^T) A P =B
所以B也是对称阵
因为P是可逆阵,所以R(P)=n
然后利用两个不等式：
R(AP) >= R(A) +R(P)-n = R(A) +n -n = R(A) .
R(AP) = R(P^T) +R(AP)-n = R(AP)
R(P^TAP)

第一步和楼上方法相同。
第二步方法不同：
利用线性代数基本定理。
Bx=P'APx得到如果x在B的零空间，则同时也在AP的零空间，反之亦然。于是B和AP的行空间维度相同，于是R(B)=R(AP)。
y'A=0等价于y'AP=0，于是A和AP左零空间相同，于是列空间维度相同，于是R(A)=R(AP)。综上R(A)=R(B)...

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第一步和楼上方法相同。
第二步方法不同：
利用线性代数基本定理。
Bx=P'APx得到如果x在B的零空间，则同时也在AP的零空间，反之亦然。于是B和AP的行空间维度相同，于是R(B)=R(AP)。
y'A=0等价于y'AP=0，于是A和AP左零空间相同，于是列空间维度相同，于是R(A)=R(AP)。综上R(A)=R(B)

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1. 设A为n阶对称矩阵,P为n阶可逆矩阵,证明B=(P^T)AP也是对称矩阵,且R(A)=R(B) 设矩阵A与P都是n阶矩阵,且A为对称矩阵,证明P'AP也是 对称矩阵. 设矩阵A和P都是n阶矩阵,且A为对称矩阵,证明:P^TAP也是对称矩阵 设A为N阶对称矩阵,B为N阶可逆矩阵,且B-1=BT,证明B-1AB是对称矩阵 设A、B均为n阶可逆矩阵,证明存在可逆矩阵P、Q,使得PAQ=B A为n阶可逆对称矩阵,B为n阶对称矩阵,当I+AB可逆时,证明:(I+AB)的逆乘A为对称矩阵 A为n阶可逆对称矩阵,B为n阶对称矩阵,当I+AB可逆时,证明:(I+AB)的逆乘A为对称矩阵 设A为n阶正定矩阵,矩阵B与A相似,则B必为 A,实对称矩阵 B正定矩阵 C可逆矩阵设A为n阶正定矩阵,矩阵B与A相似,则B必为 A,实对称矩阵 B正定矩阵 C可逆矩阵 D正交矩阵 设AB均为n阶实对称矩阵,证明存在n阶可逆矩阵P,使得P'AP与P'BP均为对角矩阵（p’为转置矩阵）请无视上面问题，写重了求线性代数（刘建亚主编）习题的详细证明16。A为m*n实矩阵，B=aE+A'A，证 设A为可逆n阶方阵,证明存在正交矩阵P,Q使得PAQ为对角矩阵 设C为n阶实可逆矩阵,A为n阶实对称矩阵,证明：A正定当且仅当C'AC正定 设A是n阶反对称矩阵(A^T=-A),如A可逆,则n必是偶数则n必为偶数怎么证明? 设A,B为n阶是对称可逆矩阵,则错误的是（D）请问如何ABC为何成立,D为何错误!A.有可逆矩阵P,Q使得PBQ=A B.有可逆矩阵P,使得P^-1ABP=BAC.有可逆矩阵P,使得P^-1B^2P=A^2D.有正交矩阵P,使得P^-1AP=P^TAP=B 设A,B为n阶实对称方阵,且A正定,则存在实可逆矩阵P,使 P' AP=E,同时P' BP=diag(λ1,…,λn). 设a,b均为n阶可逆矩阵,a+b可逆吗 设A、B均为n阶可逆矩阵,则A+B也可逆? 设A为n阶对称矩阵,B为n阶反对称矩阵,证明:B的平方为对称矩阵,AB-BA也是对称矩阵 设A为n阶对称矩阵,B为n阶反对称矩阵,证明:B的平方为对称矩阵,AB-BA也是对称矩阵