奥林匹克数学竞赛题已知关于x的一元二次方程x²+cx+a=o的两个整数根恰好比方程x²+ax+b=0的两个根都大一,求a+b+c的值已

来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/24 07:36:48
奥林匹克数学竞赛题已知关于x的一元二次方程x²+cx+a=o的两个整数根恰好比方程x²+ax+b=0的两个根都大一,求a+b+c的值已奥林匹克数学竞赛题已知关于x的一元二次方程x&

奥林匹克数学竞赛题已知关于x的一元二次方程x²+cx+a=o的两个整数根恰好比方程x²+ax+b=0的两个根都大一,求a+b+c的值已
奥林匹克数学竞赛题
已知关于x的一元二次方程x²+cx+a=o的两个整数根恰好比方程x²+ax+b=0的两个根都大一,求a+b+c的值已

奥林匹克数学竞赛题已知关于x的一元二次方程x²+cx+a=o的两个整数根恰好比方程x²+ax+b=0的两个根都大一,求a+b+c的值已
设x²+ax+b=0的两根为:p,q(p不大于q,且为整数);x²+cx+a=o的两根为p+1,q+1;
韦达定理:-(p+q)=a=(p+1)(q+1),整理得:p(q+2)=-(2q+1),各因子均为整数.显然q不等于
-2.则有
(q+2)|(2q+1),得(q+2)|((2q+1)-2*(q+2)),(q+2)|3,则q+2=3、1、-1或-3.代回p(q+2)=-(2q+1),得p=-1,q=1.其它解舍去.则有:a=0,b=-1,c=-2.a+b+c=-3.

x1+x2=-c/2 x1+1+x2+1=-a/2 推出 a=c-2
x1*x2=a (x1+1)(x2+1)=a-c/2+1=b
a+b+c=2.5c-3

设方程x²+cx+a=0的两个整数根为:x1,x2,则:
x1+x2=-c,x1x2=a。
依题意可知:
方程x²+ax+b=0的两个根为:x1-1,x2-1,则:
x1-1+x2-1=-a, (x1-1)(x2-1)=b,
所以x1+x2=-a+2=-c, x1x2-(x1+x2)+1=a+c+1=b,
即c=a-2, ...

全部展开

设方程x²+cx+a=0的两个整数根为:x1,x2,则:
x1+x2=-c,x1x2=a。
依题意可知:
方程x²+ax+b=0的两个根为:x1-1,x2-1,则:
x1-1+x2-1=-a, (x1-1)(x2-1)=b,
所以x1+x2=-a+2=-c, x1x2-(x1+x2)+1=a+c+1=b,
即c=a-2, b=a+c+1=2a-1。
又因为方程x²+cx+a=0的两个根都是整数,
即方程x²+(a-2)x+a=0的两个根都是整数,则:
a是整数,且(a-2)^2-4a>0,
a^2-8a+4>0,
所以a>=8,或a<=0。
试算,可得:
a=8时,c=6,b=15,
方程x²+cx+a=0的两个根为:-2,-4;
方程x²+ax+b=0的两个根为:-3,-5;
满足题设条件。
故a+b+c=29;
a=0时,c=-2, b=-1,
方程x²+cx+a=0的两个根为:2,0;
方程x²+ax+b=0的两个根为:1,-1;
满足题设条件。
故a+b+c=-3。

收起

x²+cx+a=o的两个整数根为X1,X2,
c^2-4*1*a=0
X1+ X2= -c
X1*X2=a
x²+ax+b=0的两个根为X3,X4,
X3+X4=-a
X3*X4=b
设x1>x2
X1+ X2-2=X3+X4=-a=-c-2
(X1-1)*(X2-1)=X1*X2-(X1+ X2)+1=a-(-c)+1=a+c+1=X3*X4=b
c^2-4*1*a=0
-a=-c-2
a+c+1=b
以上三式计出abc

-3 或 29 用根与系数关系