初三数学试卷

初三数学试卷
初三数学试卷

初三数学试卷
2009年龙岩市初中毕业、升学考试
数 学 试 题
（满分：150分 考试时间：120分钟）
注意：
请把所有答案填涂或书写到答题卡上!请不要错位、越界答题!
在本试题上答题无效.
一、选择题（本大题共8小题,每小题3分,共24分.每小题的四个选项中,只有一个符合题意,请将正确的选项填涂到答题卡上）
1．－2的相反数是
A．－2 B．2 C． D．－
2．下列运算正确的是
A．x2 + x3 = x5 B．(－ x2 )3 = x6 C．x6÷x2 = x3 D．－2x•x2 =－2x3
3．下列标志既是轴对称图形又是中心对称图形的是
A． B． C． D．
4．如图所示几何体的左视图是
A． B． C． D．
5．在同一直角坐标系中,函数 与 图象的交点个数为
A．3 B．2 C．1 D．0
6．计算 的结果为
A．1 B．2 C．－1 D．－2
7．为了从甲、乙、丙、丁四位同学中选派两位选手参加数学竞赛,老师对他们的五次数学测验成绩进行统计,得出他们的平均分均为85分,且 、 、 、 . 根据统计结果,派去参加竞赛的两位同学是
A．甲、乙 B．甲、丙 C．甲、丁 D．乙、丙
8．将一副三角板按图中方式叠放,则角α等于
A．30° B．45°
C．60° D．75°
二、填空题（本大题共10小题,每小题3分,共30分.请将答案填入答题卡相应位置）
9．分解因式：x2－4= .
10．为减少全球金融危机对我国经济产生的影响,国务院决定拿出40000亿元以扩大内需,保持经济平稳较大增长. 这个数用科学记数法表示为 亿元.
11．函数 中自变量x的取值范围是 .
12．如图,在△ABC中,点D、E、F分别是AB、AC、BC的中点,若△ABC的周长为12cm,则△DEF的周长是 cm.
13．如图,点B、E、F、C在同一直线上. 已知∠A =∠D,∠B =∠C,要使
△ABF≌△DCE,需要补充的一个条件是 (写出一个即可）.
14．方程 的解是 .
15．小亮测得一圆锥模型的底面半径为5cm,母线长为7cm,那么它的侧面展开图的面积是 cm2（结果保留三个有效数字）.
16．观察下列一组数： , , , ,…… ,它们是按一定规律排列的. 那么这一组数的第k个数是 .
17．在3 □ 2 □（－2）的两个空格□中,任意填上“+”或“－”,则运算结果为3的概率是 .
18．如图,AB、CD是半径为5的⊙O的两条弦,AB = 8,CD = 6,
MN是直径,AB⊥MN于点E,CD⊥MN于点F,P为EF上的
任意一点,则PA+PC的最小值为 .

三、解答题（本大题共8小题,共96分.把解答书写到答题卡的相应位置）
19．（10分）计算：
20．（10分）解不等式组,并把解集在数轴上表示出来.

21．（10分）如图,已知点E在△ABC的边AB上,以AE为直径的⊙O与BC相切于点D,且AD平分∠BAC .
求证：AC⊥BC .
22．（12分）为纪念古田会议80周年,我市某中学团委拟组织学生开展唱红歌比赛活动,为此,该校随机抽取部分学生就“你是否喜欢红歌”进行问卷调查,并将调查结果统计后绘制成如下统计表和扇形统计图.
态度 非常喜欢 喜欢 一般 不知道
频数 90 b 30 10
频率 a 0.35 0.20
请你根据统计图、表提供的信息解答下列问题：
（1）该校这次随机抽取了 名学生参加问卷调查；
（2）确定统计表中a、b的值：a = ,b = ;
（3）在统计图中“喜欢”部分扇形所对应的圆心角是 度；
（4）若该校共有2000名学生,估计全校态度为“非常喜欢”的学生有 人.
23．（13分）阅读下列材料：
正方形网格中,每个小正方形的顶点称为格点,以格点为顶点的三角形叫格点三角形.
数学老师给小明同学出了一道题目：在图23－1正方形网格（每个小正方形边长为1）中画出格点△ABC,使 , ；
小明同学的做法是：由勾股定理,得 , ,于是画出线段AB、AC、BC,从而画出格点△ABC.（1）请你参考小明同学的做法,在图23－2正方形网格（每个小正方形边长为1）中画出格点△ （ 点位置如图所示）,使 = =5, .（直接画出图形,不写过程）；
（2）观察△ABC与△ 的形状,猜想∠BAC与∠
有怎样的数量关系,并证明你的猜想.
24．（13分）永定土楼是世界文化遗产“福建土楼”
的组成部分,是闽西的旅游胜地. “永定土楼”
模型深受游客喜爱. 图中折线（AB‖CD‖x轴）
反映了某种规格土楼模型的单价y（元）与购买
数量x（个）之间的函数关系.
（1）求当10≤x≤20时,y与x的函数关系式；
（2）已知某旅游团购买该种规格的土楼模型 总金额为2625元,问该旅游团共购买这种土楼模型多少个?(总金额=数量×单价)
25．（14分）在边长为6的菱形ABCD中,动点M从点A出发,沿A→B→C向终点C运动,连接DM交AC于点N.
（1）如图25－1,当点M在AB边上时,连接BN.
①求证：△ABN≌△ADN；
②若∠ABC = 60°,AM = 4,∠ABN =α,求点M到AD的距离及tanα的值；
（2）如图25－2,若∠ABC = 90°,记点M运动所经过的路程为x（6≤x≤12）.
试问：x为何值时,△ADN为等腰三角形.
26．（14分）如图,抛物线 与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点,四边形OBHC为矩形,CH的延长线交抛物线于点D（5,2）,连结BC、AD.
（1）求C点的坐标及抛物线的解析式；
（2）将△BCH绕点B按顺时针旋转90°后 再沿x轴对折得到
△BEF（点C与点E对应）,判断点E是否落在抛物线上,并说明理由；
（3）设过点E的直线交AB边于点P,交CD边于点Q. 问是否存在点P,使直线PQ分梯形ABCD的面积为1∶3两部分?若存在,求出P点坐标；若不存在,请说明理由.
2009年龙岩市初中毕业、升学考试
参 考 答 案 及 评 分 标 准
数 学
说明：评分最小单位为1分.若学生解答与本参考答案不同,参照给分.
一、选择题（每小题3分,共24分）
1．B 2．D 3．A 4．A 5．D 6．C 7．C 8．D
二、填空题（每小题3分,共30分.注：答案不正确、不完整均不给分）
9．（x＋2）(x－2). 10．4 × 104¬ . 11．x ≤ 2. 12．6.
13．AB = DC（填AF=DE或BF=CE或BE=CF也对）.
14． (只写 也对). 15．110. 16． . 17． . 18． .
三、解答题（共96分）
19．（10分）原式= 3－1＋2＋2 × …………………………8分
= 5 …………………………………………10分
20．（10分）由①,得x ≥ 1 …………………………………3分
由②,得x < 4 …………………………………6分
∴原不等式组的解集是：1 ≤ x < 4 ……………8分
…… 10分
21．（10分）证明：连接OD ……………………………1分
∵OA = OD,∴∠1 =∠3； …………3分
∵AD平分∠BAC,∴∠1 =∠2；
∴∠2 =∠3；…………………………6分
∴OD‖AC,…………………………7分
∵BC是⊙O的切线
∴OD⊥BC …………………………8分
∴AC⊥BC ………………………10分
22．（12分）（1）200；……………………………………3分
（2）a = 0.45, b = 70 ……………………7分（每空2分）
（3）126；……………………………………9分
（4）900. ……………………………………12分
23．（13分）（1）正确画出△ （画出其中一种情形即可）6分
（2）猜想：∠BAC =∠ ………………8分
证明：∵ , ；
∴ , …………………………10分
∴△ABC ∽ △ ,
∴∠BAC =∠ ……………………………13分
24．（13分）
（1）当10 ≤ x ≤ 20时,设y = kx＋b（k≠0）……11分
依题意,得 ………………………3分
解得 ………………………………………5分
∴当10 ≤ x ≤ 20时,y =－5x＋250 …………6分
（2）∵10 × 200 < 2625 < 20 × 150
∴10 < x < 20 ………………………………………8分
依题意,得xy = x（－5x＋250）= 2625 …………10分
即x2－50x＋525 = 0
解得x1 = 15, x2 = 35（舍去）
∴只取x = 15. ……………………………………12分
答：该旅游团共购买这种土楼模型15个 …………13分
25．（14分）
（1）①证明：∵四边形ABCD是菱形
∴AB¬ = AD,∠1 =∠2 ………………………2分
又∵AN = AN
∴△ABN ≌ △ADN ………………………4分
②作MH⊥DA交DA的延长线于点H,由AD‖BC,得∠MAH =∠ABC = 60°,
在Rt△AMH中,MH = AM•sin60° = 4×sin60° = 2 ,
∴点M到AD的距离为2 . ………………………………………6分
易求AH=2,则DH=6＋2=8. ………………………………………7分
在Rt△DMH中,tan∠MDH= ,
由①知,∠MDH=∠ABN=α.
故tanα= …………………… 9分
（2）∵∠ABC=90°,∴菱形ABCD是正方形
此时,∠CAD=45°.
下面分三种情形：
Ⅰ）若ND=NA,则∠ADN=∠NAD=45°.
此时,点M恰好与点B重合,得x=6；……………10分
Ⅱ）若DN=DA,则∠DNA=∠DAN=45°.
此时,点M恰好与点C重合,得x=12；………… 11分
Ⅲ）若AN=AD=6,则∠1=∠2,
由AD‖BC,得∠1=∠4,又∠2=∠3,
∴∠3=∠4,从而CM=CN,
易求AC=6 ,∴CM=CN=AC－AN=6 －6,
故x = 12－CM=12－（6 －6）=18－6 …………………………13分
综上所述：当x = 6或12 或18－6 时,△ADN是等腰三角形 ………………… 14分
（说明：对于Ⅰ）、Ⅱ）分类只要考生能写出x=6,x=12就给2分）
26．（14分）
（1）∵四边形OBHC为矩形,∴CD‖AB,
又D（5,2）,
∴C（0,2）,OC=2 . …………………………… 2分
∴ 解得
∴抛物线的解析式为： …… 4分
（2）点E落在抛物线上. 理由如下：……… 5分
由y = 0,得 .
解得x1=1,x2=4. ∴A（4,0）,B（1,0）. ……………………………… 6分
∴OA=4,OB=1.
由矩形性质知：CH=OB=1,BH=OC=2,∠BHC=90°,
由旋转、轴对称性质知：EF=1,BF=2,∠EFB=90°,
∴点E的坐标为（3,－1）. ………………………………………………… 7分
把x=3代入 ,得 ,
∴点E在抛物线上. …………………………………………………………… 8分
（3）法一：存在点P（a,0）,延长EF交CD于点G,易求OF=CG=3,PB=a－1.
S梯形BCGF = 5,S梯形ADGF = 3,记S梯形BCQP = S1,S梯形ADQP = S2,

下面分两种情形：
①当S1∶S2 =1∶3时, ,
此时点P在点F（3,0）的左侧,则PF = 3－a,
由△EPF∽△EQG,得 ,则QG=9－3a,
∴CQ=3－(9－3a) =3a －6
由S1=2,得 ,解得 ；………………… 11分
②当S1∶S2=3∶1时,
此时点P在点F（3,0）的右侧,则PF = a－3,
由△EPF∽△EQG,得QG = 3a－9,∴CQ = 3 +（3 a－9）= 3 a－6,
由S1= 6,得 ,解得 .
综上所述：所求点P的坐标为（ ,0）或（ ,0）……… 14分
法二：存在点P（a,0）. 记S梯形BCQP = S1,S梯形ADQP = S2,易求S梯形ABCD = 8.
当PQ经过点F（3,0）时,易求S1=5,S2 = 3,
此时S1∶S2不符合条件,故a≠3.
设直线PQ的解析式为y = kx+b(k≠0),则 ,解得 ,
∴ . 由y = 2得x = 3a－6,∴Q（3a－6,2） ……… 10分
∴CQ = 3a－6,BP = a－1, .
下面分两种情形：
①当S1∶S2 = 1∶3时, = 2；
∴4a－7 = 2,解得 ；……………………………………………… 12分
②当S1∶S2 = 3∶1时, ；
∴4a－7 = 6,解得 ；
综上所述：所求点P的坐标为（ ,0）或（ ,0）………… 14分
[说明：对于第（3）小题,只要考生能求出 或 两个答案,就给6分. ]