怎样区分自然数、整数、有理数、实数?怎样区分?最好各举一些例子

怎样区分自然数、整数、有理数、实数?怎样区分?最好各举一些例子
怎样区分自然数、整数、有理数、实数?
怎样区分?最好各举一些例子

怎样区分自然数、整数、有理数、实数?怎样区分?最好各举一些例子
自然数：1、2、3、4...
整数：-1、-2、0、1、2、3...
有理数：数的清的,像派,根号2这类无穷的就不是
实数的话,前三者都是...

自然数（natural number）
用以计量事物的件数或表示事物次序的数 。 即用数码0，1，2，3，4，……所表示的数 。自然数由0开始 ， 一个接一个，组成一个无穷集合。自然数集有加法和乘法运算，两个自然数相加或相乘的结果仍为自然数，也可以作减法或除法，但相减和相除的结果未必都是自然数，所以减法和除法运算在自然数集中并不是总能成立的。自然数是人们认识的所有数中最基本的一类，为了...

全部展开

自然数（natural number）
用以计量事物的件数或表示事物次序的数 。 即用数码0，1，2，3，4，……所表示的数 。自然数由0开始 ， 一个接一个，组成一个无穷集合。自然数集有加法和乘法运算，两个自然数相加或相乘的结果仍为自然数，也可以作减法或除法，但相减和相除的结果未必都是自然数，所以减法和除法运算在自然数集中并不是总能成立的。自然数是人们认识的所有数中最基本的一类，为了使数的系统有严密的逻辑基础，19世纪的数学家建立了自然数的两种等价的理论枣自然数的序数理论和基数理论，使自然数的概念、运算和有关性质得到严格的论述。
序数理论是意大利数学家G.皮亚诺提出来的。他总结了自然数的性质，用公理法给出自然数的如下定义。
自然数集N是指满足以下条件的集合：①N中有一个元素，记作1。②N中每一个元素都能在 N 中找到一个元素作为它的后继者。③ 1不是任何元素的后继者。④ 不同元素有不同的后继者。⑤（归纳公理）N的任一子集M，如果1∈M，并且只要x在M中就能推出x的后继者也在M中，那么M＝N。
基数理论则把自然数定义为有限集的基数，这种理论提出，两个可以在元素之间建立一一对应关系的有限集具有共同的数量特征，这一特征叫做基数 。这样 ，所有单元素集｛x｝，｛y｝，｛a｝，｛b｝等具有同一基数 ， 记作1 。类似，凡能与两个手指头建立一一对应的集合，它们的基数相同，记作2，等等 。自然数的加法 、乘法运算可以在序数或基数理论中给出定义，并且两种理论下的运算是一致的。
自然数在日常生活中起了很大的作用，人们广泛使用自然数。
“0”是否包括在自然数之内存在争议，有人认为自然数为正整数，即从1开始算起；而也有人认为自然数为非负整数，即从0开始算起。目前关于这个问题尚无一致意见。不过，在数论中，多采用前者；在集合论中，则多采用后者。目前，我国中小学教材将0归为自然数！自然数是整数，但整数不全是自然数。
例如：-1 -2 -3......是整数 而不是自然数
有理数是一个整数 a 和一个非零整数 b 的比，通常写作 a/b。
包括整数和通常所说的分数，此分数亦可表示为有限小数或无限循环小数。
这一定义在数的十进制和其他进位制（如二进制）下都适用。
如3，-98.11，5.72727272……，7/22都是有理数。
有理数还可以划分为正有理数、负有理数和0。
实数包括有理数和无理数。其中无理数就是无限不循环小数，有理数就包括无限循环小数、有限小数、整数。
数学上，实数直观地定义为和数轴上的点一一对应的数。本来实数仅称作数，后来引入了虚数概念，原本的数称作“实数”——意义是“实在的数”。
实数可以分为有理数和无理数两类，或代数数和超越数两类，或正数，负数和零三类。实数集合通常用字母 R 或 R^n 表示。而 R^n 表示 n 维实数空间。实数是不可数的。实数是实分析的核心研究对象。
实数可以用来测量连续的量。理论上，任何实数都可以用无限小数的方式表示，小数点的右边是一个无穷的数列（可以是循环的，也可以是非循环的）。在实际运用中，实数经常被近似成一个有限小数（保留小数点后 n 位，n 为正整数）。在计算机领域，由于计算机只能存储有限的小数位数，实数经常用浮点数来表示。
①相反数（只有符号不同的两个数，我们就说其中一个是另一个的相反数） 实数a的相反数是-a

②绝对值（在数轴上一个数所对应的点与原点0的距离） 实数a的绝对值是：│a│=①a为正数时，|a|=a
②a为0时， |a|=0
③a为负数时，|a|=-a

③倒数 （两个实数的乘积是1，则这两个数互为倒数） 实数a的倒数是：1/a （a≠0）

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自然数（natural number）
用以计量事物的件数或表示事物次序的数 。 即用数码0，1，2，3，4，……所表示的数 。自然数由0开始 ， 一个接一个，组成一个无穷集合。自然数集有加法和乘法运算，两个自然数相加或相乘的结果仍为自然数，也可以作减法或除法，但相减和相除的结果未必都是自然数，所以减法和除法运算在自然数集中并不是总能成立的。自然数是人们认识的所有数中最基本的一类，为了...

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自然数（natural number）
用以计量事物的件数或表示事物次序的数 。 即用数码0，1，2，3，4，……所表示的数 。自然数由0开始 ， 一个接一个，组成一个无穷集合。自然数集有加法和乘法运算，两个自然数相加或相乘的结果仍为自然数，也可以作减法或除法，但相减和相除的结果未必都是自然数，所以减法和除法运算在自然数集中并不是总能成立的。自然数是人们认识的所有数中最基本的一类，为了使数的系统有严密的逻辑基础，19世纪的数学家建立了自然数的两种等价的理论枣自然数的序数理论和基数理论，使自然数的概念、运算和有关性质得到严格的论述。
序数理论是意大利数学家G.皮亚诺提出来的。他总结了自然数的性质，用公理法给出自然数的如下定义。
自然数集N是指满足以下条件的集合：①N中有一个元素，记作1。②N中每一个元素都能在 N 中找到一个元素作为它的后继者。③ 1不是任何元素的后继者。④ 不同元素有不同的后继者。⑤（归纳公理）N的任一子集M，如果1∈M，并且只要x在M中就能推出x的后继者也在M中，那么M＝N。
基数理论则把自然数定义为有限集的基数，这种理论提出，两个可以在元素之间建立一一对应关系的有限集具有共同的数量特征，这一特征叫做基数 。这样 ，所有单元素集｛x｝，｛y｝，｛a｝，｛b｝等具有同一基数 ， 记作1 。类似，凡能与两个手指头建立一一对应的集合，它们的基数相同，记作2，等等 。自然数的加法 、乘法运算可以在序数或基数理论中给出定义，并且两种理论下的运算是一致的。
自然数在日常生活中起了很大的作用，人们广泛使用自然数。
“0”是否包括在自然数之内存在争议，有人认为自然数为正整数，即从1开始算起；而也有人认为自然数为非负整数，即从0开始算起。目前关于这个问题尚无一致意见。不过，在数论中，多采用前者；在集合论中，则多采用后者。目前，我国中小学教材将0归为自然数！详情请见http://www.pep.com.cn/、www.1088.com.cn 自然数是整数，但整数不全是自然数。
例如：-1 -2 -3......是整数 而不是自然数
整数（Integer）
序列
…，-2，-1，0，1，2，…
中的数称为整数．整数的全体构成整数集，它是一个环，记作Z（现代通常写成空心字母Z）．环Z的势是阿列夫0．
在整数系中,自然数为正整数,称0为零,称-1,-2,-3,…,-n,… 为负整数.正整数,零与负整数构成整数系.
正整数是从古代以来人类计数(counting)的工具.可以说,从「一头牛,两头牛」或是「五个人,六个人」抽象化成正整数的过程是相当自然的.事实上,我们有时候把正整数叫做自然数(the natural numbers).
零不仅表示「无」,更是表示空位的符号.中国古代用算筹计算数并进行运算时,空位不放算筹,虽无空 位记号,但仍能为位值记数与四则运算创造良好的条件.印度-阿拉伯命数法中的零(zero)来自印度的(sunya)字,其原意也是「空」或「空白」.
中国最早引进了负数.《九章算术.方程》中论述的「正负数」,就是整数的加减法.减法的需要也促进了负整数的引入.减法运算可看作求解方程a+x=b,如果a,b是自然数,则所给方程未必有自然数解.为了使它恒有解,就有必要把自然数系扩大为整数系.
正整数,零,和负整数合称整数(the integers).整数是人类能够掌握的最基本的数学工具.十九世纪德国伟大数学家 Kronecker因此说:「只有整数是上帝创造的,其他的都是人类自己制造的.」
一个给定的整数n可以是负数（n∈Z-），非负数（n∈Z*），零（n=0）或正数（n∈Z+）．
有理数（rational number)：
有理数是一个整数 a 和一个非零整数 b 的比，通常写作 a/b。
包括整数和通常所说的分数，此分数亦可表示为有限小数或无限循环小数。
这一定义在数的十进制和其他进位制（如二进制）下都适用。
如3，-98.11，5.72727272……，7/22都是有理数。
有理数还可以划分为正有理数、负有理数和0。
全体有理数构成一个集合，即有理数集，用粗体字母Q表示，较现代的一些数学书则用空心字母Q表示。
有理数集是实数集的子集。相关的内容见数系的扩张。
有理数集是一个域，即在其中可进行四则运算（0作除数除外），而且对于这些运算，以下的运算律成立（a、b、c等都表示任意的有理数）：
①加法的交换律 a+b=b+a；
②加法的结合律 a+(b+c)=(a+b)+c；
③存在数0，使 0+a=a+0=a；
④对任意有理数a，存在一个加法逆元，记作-a，使a+(-a)=(-a)+a=0；
⑤乘法的交换律 ab=ba；
⑥乘法的结合律 a(bc)=(ab)c；
⑦分配律 a(b+c)=ab+ac；
⑧存在乘法的单位元1≠0，使得对任意有理数a，1a=a1=a；
⑨对于不为0的有理数a，存在乘法逆元1/a，使a(1/a)=(1/a)a=1。
⑩0a＝0
此外，有理数是一个序域，即在其上存在一个次序关系≤。
有理数还是一个阿基米德域，即对有理数a和b，a≥0，b>0，必可找到一个自然数n，使nb>a。由此不难推知，不存在最大的有理数。
值得一提的是有理数的名称。“有理数”这一名称不免叫人费解，有理数并不比别的数更“有道理”。事实上，这似乎是一个翻译上的失误。有理数一词是从西方传来，在英语中是rational number，而rational通常的意义是“理性的”。中国在近代翻译西方科学著作，依据日语中的翻译方法，以讹传讹，把它译成了“有理数”。但是，这个词来源于古希腊，其英文词根为ratio，就是比率的意思（这里的词根是英语中的，希腊语意义与之相同）。所以这个词的意义也很显豁，就是整数的“比”。与之相对，“无理数”就是不能精确表示为两个整数之比的数，而并非没有道理。
有理数加减混合运算
1.理数加减统一成加法的意义：
对于加减混合运算中的减法，我们可以根据有理数减法法则将减法转化为加法，这样就可将混合运算统一为加法运算，统一后的式子是几个正数或负数的和的形式，我们把这样的式子叫做代数和。
2.有理数加减混合运算的方法和步骤：
（1）运用减法法则将有理数混合运算中的减法转化为加法。
（2）运用加法法则，加法交换律，加法结合律简便运算。
有理数范围内已有的绝对值，相反数等概念，在实数范围内有同样的意义。
词典含义 shíshù （一）数学名词。不存在虚数部分的复数，有理数和无理数的总称。 （二）真实的数字。【例】公司到底还有多少钱？请你告诉我实数！ 基本概念 实数包括有理数和无理数。其中无理数就是无限不循环小数，有理数就包括无限循环小数、有限小数、整数。 数学上，实数直观地定义为和数轴上的点一一对应的数。本来实数仅称作数，后来引入了虚数概念，原本的数称作“实数”——意义是“实在的数”。 实数可以分为有理数和无理数两类，或代数数和超越数两类，或正数

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自然数：1、2、3、4...
整数：-1、-2、0、1、2、3...
有理数：包含整数和某些小数 小数必须是能用分数表示的或者说是有限小数+无限循环小数 5/3=1.6666 19/11
无理数：无限不循环小数 pi,e
实数包含有理数和无理数

实数:有理数,无理数
有理数:整数和分数
整数:正整数,零,负整数
自然数:正整数,零
自然数：1、2、3、4...
整数：-1、-2、0、1、2、3...
有理数：数的清的，像派，根号2这类无穷的就不是
实数的话，前三者都是...

自然数是从人们数手指头计数开始的，
自然数集合有一个最小数0，以后的数都是从0开始向后加1，1、2、3、4、...
自然数最重要的性质是数学归纳法：
如果一个公式P对0成立P(0)，
假设它对n成立P(n)，能够推导出它对n+1也成立P(n+1)，那么对于一切自然数P都成立。
自然数集合中的数可以做加法和乘法运算，结果还是自然数，
但是自...

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自然数是从人们数手指头计数开始的，
自然数集合有一个最小数0，以后的数都是从0开始向后加1，1、2、3、4、...
自然数最重要的性质是数学归纳法：
如果一个公式P对0成立P(0)，
假设它对n成立P(n)，能够推导出它对n+1也成立P(n+1)，那么对于一切自然数P都成立。
自然数集合中的数可以做加法和乘法运算，结果还是自然数，
但是自然数做减法结果不一定是自然数，比如1-3=-2就不是自然数，为了能让自然数随便做减法，只能扩大数集，于是产生了整数集合，
在整数集合中，加法减法乘法可以随便做，结果还在整数集合中，
但是整数集合中做除法，结果不一定是整数，-6/3=-2是整数，但是-5/3结果却不是整数，为了能让整数随意做除法(0不能做除数)，有必要扩大数集，这样就产生了有理数，
有理数集合中的有理数，形如m/n，m、n是
整数，比如-1可以写作-1/1，其中m=-1，n=1，
有了有理数以后，加减乘除都可以做了，数学运算应该圆满了，没漏洞了，
后来发现，根据几何学勾股定理：a^2+b^2=c^2，c是直角三角形斜边边长，a、b是两条直角边边长。
如果边长是1的直角三角形，斜边边长c^2=1^2+1^2=2，
问题来了，c^2=2，假设c=m/n，m、n没有公因数，那么m^2/n^2=2，
m^2=2n^2，那么m应该是2的倍数，设m=2q，
(2q)^2=2n^2，得n^2=2q^2，结果n也是2的倍数，说明m、n之间有公因数2，跟假设m、n没有公因数矛盾，假设错误，斜边c不能表示成有理数m/n形式，叫做无理数，
圆周率π，自然对数e都是无理数，
为了能让有理数进行开方运算和极限运算，必须扩大数集，结果产生了实数，
实数集合包括有理数和无理数，
无理数本质上不能得到精确结果的，就像上面那个证明，任何形式的m/n都表示不了无理数，不管m、n如何取值，
人们只能近似得到无理数值，像圆周率的3.14159265358979323846......它是无限不循环小数，
人们取到它的值的方法只能是：
比3大比4小，那么取3，
如果取3的计算精度不够，那就再取一位，
比3.1大比3.2小，
精度不够再取，
比3.14大比3.15小，
如此循环下去，从上界和下界两个方向不断逼近它，知道得到满意的精度为止，
在高等数学中，这个不断逼近的过程就是实数的构造过程，
当你给出需要的精度ε后，逼近足够次数N后，实数的上界Xsup、下界Xinf、它们之间的任意数Xm、Xn，其差的绝对值小于ε，比如|Xm-Xn|<ε，
如果你读大学数学系，那里会讲述这个问题的，实数理论是整个微积分的基础，
而在中学，我们只要知道实数是有理数+无理数，有理数既可以表示成分数，也可以表示成循环小数，而无理数是无限不循环小数

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