设函数F(x)=xln(e^x+1)-1/2x^2+3.x∈[-t,t](t>0),若函数f(x)的最大值是M,最小值是m,则M+m的值为

来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/29 05:10:51
设函数F(x)=xln(e^x+1)-1/2x^2+3.x∈[-t,t](t>0),若函数f(x)的最大值是M,最小值是m,则M+m的值为设函数F(x)=xln(e^x+1)-1/2x^2+3.x∈[

设函数F(x)=xln(e^x+1)-1/2x^2+3.x∈[-t,t](t>0),若函数f(x)的最大值是M,最小值是m,则M+m的值为
设函数F(x)=xln(e^x+1)-1/2x^2+3.x∈[-t,t](t>0),若函数f(x)的最大值是M,最小值是m,则M+m的值为

设函数F(x)=xln(e^x+1)-1/2x^2+3.x∈[-t,t](t>0),若函数f(x)的最大值是M,最小值是m,则M+m的值为
f(x)=xln(e^x+1)-1/2*x^2+3
设g(x)=f(x)-3=xln(e^x+1)-1/2*x^2
f(x)的最大值为M,最小值为m,则
g(x)的最大值为p=M-3,最小值为q=m-3
∵g(-x)=-xln[e^(-x)+1]-1/2*x^2
=-xln(e^x+1)+xlne^x-1/2*x^2
=-xln(e^x+1)+x^2-1/2*x^2
=-xln(e^x+1)+1/2*x^2
=-g(x)
∴g(x)为奇函数
在对称区间x∈[-t,t]上,因g(x)为奇函数
对任意x∈[-t,t],若g(-x)为最大值p,则g(x)为最小值q,反之亦然
∴由奇函数的对称性,总有p+q=0
即M-3+m-3=0,即M+m=6

求导函数,可得f'(x)=ln(ex+1)-xex+1=1ex+1[exln(ex+1)+ln(ex+1)-lnex]
又因为当x∈[-t,t]时,ex+1>1>0,又因为ln(ex+1)-lnex>0,所以f'(x)>0恒成立
故该函数在[-t,t]上单调增,故有:M=f(x)max=f(t),m=f(x)min=f(-t)
∴M+m=f(t)+f(-t)=tln(et+...

全部展开

求导函数,可得f'(x)=ln(ex+1)-xex+1=1ex+1[exln(ex+1)+ln(ex+1)-lnex]
又因为当x∈[-t,t]时,ex+1>1>0,又因为ln(ex+1)-lnex>0,所以f'(x)>0恒成立
故该函数在[-t,t]上单调增,故有:M=f(x)max=f(t),m=f(x)min=f(-t)
∴M+m=f(t)+f(-t)=tln(et+1)-12t2+3-tln(e-t+1)-12t2+3=3+3=6
故答案为:6

收起