求第八题,数列的通项
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/20 09:20:04
求第八题,数列的通项
求第八题,数列的通项
求第八题,数列的通项
1）当n≥2时,
S[n] =(a[n]² +a[n] )/2,
S[n-1]=(a[n-1]²+a[n-1])/2,
两式相减得：
a[n]=S[n]-S[n-1]=(a[n]² +a[n] )/2-(a[n-1]²+a[n-1])/2
整理得(a[n] +a[n-1])(a[n]-a[n-1]-1)=0；
由于{a[n]}为正项数列,
则a[n]-a[n-1]-1=0,即a[n]-a[n-1=1；
即数列后一项与前一项之差为常数（n-1可以取到1）,所以{a[n]}为首项为a[1]=S[1]=(a[1]² +a[1] )/2=1,公差为1的等差数列；
2)由1）得a[n]=n；
则b[n+1]-b[n]=2^a[n]=2^n；①
令
b[n+1]-k*2^(n+1)=b[n]-k*2^n
得b[n+1]-b[n]=k*2^n
对比①式可得k=1
故b[n+1]-2^(n+1)=b[n]-2^n；
递推可得b[n]-2^n=b[n-1]-2^(n-1)=b[n-2]-2^(n-2)=…=b[1]-2=0；
b[n]=2^n；
此题其实难点在第一题,难在如何把a[n]与a[n-1]的关系找到.看到通项与前n项和的关系就要想到两点：a[1]=S[1],a[n]=S[n]-S[n-1]（n≥2）,一定要注意.
(1)n≥2时
2Sn= an²+an
2S(n-1)=a(n-1)²+a(n-1)
两式相减得
2an=an²+an-a(n-1)²-a(n-1)
an²-an-a(n-1)²-a(n-1)=0
[an+a(n-1)][an-a(n-1)-1]=0
an-a(n-1)-1=0所以...
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(1)n≥2时
2Sn= an²+an
2S(n-1)=a(n-1)²+a(n-1)
两式相减得
2an=an²+an-a(n-1)²-a(n-1)
an²-an-a(n-1)²-a(n-1)=0
[an+a(n-1)][an-a(n-1)-1]=0
an-a(n-1)-1=0所以an-a(n-1)=1
又2a1= a1²+a1
解得a1=1
所以是以1为首项，1为公差的等差数列
(2)an=1+(n-1)*1=n
b(n+1)=2^n +bn
b(n+1)-bn=2^n
由此式可得
b2-b1=2
b3-b2=2^2
b4-b3=2^3
…………
bn-b(n-1)=2^(n-1)
以上各式相加得
bn-b1=2+2^2+……+2^(n-1)=2[1-2^(n-1)]/(1-2)=2^n -2
又b1=2 所以bn=2^n
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