将1/2化为1/A+1/B+1/C的形式,其中A,B,C为互不相同的自然数,且他们的最大公约数是1,那么共有几种填法,请列举出来,
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/16 09:47:41
将1/2化为1/A+1/B+1/C的形式,其中A,B,C为互不相同的自然数,且他们的最大公约数是1,那么共有几种填法,请列举出来,
将1/2化为1/A+1/B+1/C的形式,其中A,B,C为互不相同的自然数,且他们的最大公约数是1,那么共有几种填法,请列举出来,
将1/2化为1/A+1/B+1/C的形式,其中A,B,C为互不相同的自然数,且他们的最大公约数是1,那么共有几种填法,请列举出来,
因为ABC是自然数
所以由：1/A+1/B+1/C=1/2
设C最大
得：AXB=C
A+B=C-1
得 A.B.C.是2.3.6
所以共有A=2 B=3 C=6
A=2 B=6 C=3
B=2 A=3 C=6
B=2 A=6 C=3
C=2 A=3 B=6
C=2 A=6 B=3 这六种
1/A+1/B+1/C=1/2 =>A*B*C=2(A*B+A*C+B*C)
其中A,B,C为互不相同的自然数，且他们的最大公约数是1 =>A,B,C 中两奇数一偶数
设C=2m ,A,B为奇数 => A*B*m=A*B+A*2m+B*2m => m是奇数 设m=2n+1 则 C=2(2n+1) n>=1
=> C>=6
全部展开
1/A+1/B+1/C=1/2 =>A*B*C=2(A*B+A*C+B*C)
其中A,B,C为互不相同的自然数，且他们的最大公约数是1 =>A,B,C 中两奇数一偶数
设C=2m ,A,B为奇数 => A*B*m=A*B+A*2m+B*2m => m是奇数 设m=2n+1 则 C=2(2n+1) n>=1
=> C>=6
1/A+1/B=1/2-1/C => 1/A+1/B >=1/3 设A1/6 => A=3 或 A=5
(1) 当A=5 时，易得 3/10>1/B>=2/15 B!=A => B=7 得 1/C=11/70 不合题意。
（2）当A=3 时，1/B=1/2-1/3-1/C=1/6-1/(2(2n+1))=(n-1)/(6n+3) =>B=6+9/(n-1) B为整数
=> n-1=1,3,9 => B=15,9,7 C=10,18,42 均不合题意。
所以此题无解。
收起
因为ABC是自然数
所以由：1/A+1/B+1/C=1/2
设C最大
得： AXB=C
A+B=C-1
得 A.B.C.是2.3.6
所以共有A=2B=3C=6 A=2B=6C=3 B=2A=3C=6 B=2A=6C=5C=2 C=2A=6B=3