设数列{an}的前n项和为Sn,数列{Sn}的前n项和为Tn,满足Tn=2Sn-n2,n∈N＊.求a1的值以及an的通项公式.
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2025/01/22 08:39:51
设数列{an}的前n项和为Sn,数列{Sn}的前n项和为Tn,满足Tn=2Sn-n2,n∈N＊.求a1的值以及an的通项公式.
设数列{an}的前n项和为Sn,数列{Sn}的前n项和为Tn,满足Tn=2Sn-n2,n∈N＊.求a1的值以及an的通项公式.
设数列{an}的前n项和为Sn,数列{Sn}的前n项和为Tn,满足Tn=2Sn-n2,n∈N＊.求a1的值以及an的通项公式.
当 n=1 时,T1=S1=a1 ,所以由 a1=2a1-1 得 a1=1 .
当 n>=2 时,Sn=Tn-T(n-1)=(2Sn-n^2)-[2S(n-1)-(n-1)^2] ,
所以 Sn=2S(n-1)+2n-1 ,
设 Sn+(un+v)=2[S(n-1)+u(n-1)+v] ,解得 u=2 ,v=3 ,
也即 Sn+(2n+3)=2[S(n-1)+2(n-1)+3] ,
这说明数列 ｛Sn+(2n+3)｝是首项为 S1+5=6 ,公比为 2 的等比数列,
所以 Sn+(2n+3)=3*2^n ,
因此 Sn=3*2^n-(2n+3) ,
那么 an=Sn-S(n-1)=S(n-1)+2n-1=3*2^(n-1)-(2n+1)+(2n-1)=3*2^(n-1)-2 .
当 n=1 时，T1=S1=a1 ，所以由 a1=2a1-1 得 a1=1 。
当 n>=2 时，Sn=Tn-T(n-1)=(2Sn-n^2)-[2S(n-1)-(n-1)^2] ，
所以 Sn=2S(n-1)+2n-1 ，
设 Sn+(un+v)=2[S(n-1)+u(n-1)+v] ，解得 u=2 ，v=3 ，
也即 Sn+(2n+3)=2[S(n-1)+2(n...
全部展开
当 n=1 时，T1=S1=a1 ，所以由 a1=2a1-1 得 a1=1 。
当 n>=2 时，Sn=Tn-T(n-1)=(2Sn-n^2)-[2S(n-1)-(n-1)^2] ，
所以 Sn=2S(n-1)+2n-1 ，
设 Sn+(un+v)=2[S(n-1)+u(n-1)+v] ，解得 u=2 ，v=3 ，
也即 Sn+(2n+3)=2[S(n-1)+2(n-1)+3] ，
这说明数列 ｛Sn+(2n+3)｝是首项为 S1+5=6 ，公比为 2 的等比数列，
所以 Sn+(2n+3)=3*2^n ，
因此 Sn=3*2^n-(2n+3) ，
那么 an=Sn-S(n-1)=S(n-1)+2n-1=3*2^(n-1)-(2n+1)+(2n-1)=3*2^(n-1)-2 。
收起