单偶阶、双偶阶幻方的巧妙填法

单偶阶、双偶阶幻方的巧妙填法
单偶阶、双偶阶幻方的巧妙填法

单偶阶、双偶阶幻方的巧妙填法
一、双偶幻方的解法
能被4整除的n阶幻方叫双偶幻方,如8阶、12阶、16阶等,双偶幻方用Spring法、Strachey法生成.
1、Spring法生成双偶幻方：
方法就是两句话：顺序填数,以中心点对称互换数字.
第一步,顺序填数；
简单地说,就是1放在幻方的任意一个角格,然后按同一个方向按顺序依次填写其余数.
以8阶幻方为例,顺序填数.如下所示：
1\x092\x093\x094\x095\x096\x097\x098
9\x0910\x0911\x0912\x0913\x0914\x0915\x0916
17\x0918\x0919\x0920\x0921\x0922\x0923\x0924
25\x0926\x0927\x0928\x0929\x0930\x0931\x0932
33\x0934\x0935\x0936\x0937\x0938\x0939\x0940
41\x0942\x0943\x0944\x0945\x0946\x0947\x0948
49\x0950\x0951\x0952\x0953\x0954\x0955\x0956
57\x0958\x0959\x0960\x0961\x0962\x0963\x0964
等等等等,共有8种方法.（以下我只以一种为例讲解.其余方法相同）
第二步,以中心点对称互换数字；
对称互换的方法有两种：
方法一；将左上区域i+j（i行、j列）为偶数的与幻方内以中心点为对称点的右下角对角数字进行交换；将右上区域i+j为奇数的与幻方内以中心点为对称点的左下角对角数字进行交换.（保证不同时为奇或偶即可.）
64\x092\x0962\x094\x095\x0959\x097\x0957
9\x0955\x0911\x0953\x0952\x0914\x0950\x0916
48\x0918\x0946\x0920\x0921\x0943\x0923\x0941
25\x0939\x0927\x0937\x0936\x0930\x0934\x0932
33\x0931\x0935\x0929\x0928\x0938\x0926\x0940
24\x0942\x0922\x0944\x0945\x0919\x0947\x0917
49\x0915\x0951\x0913\x0912\x0954\x0910\x0956
8\x0958\x096\x0960\x0961\x093\x0963\x091
或,
1\x0963\x093\x0961\x0960\x096\x0958\x098
56\x0910\x0954\x0912\x0913\x0951\x0915\x0949
17\x0947\x0919\x0945\x0944\x0922\x0942\x0924
40\x0926\x0938\x0928\x0929\x0935\x0931\x0933
32\x0934\x0930\x0936\x0937\x0927\x0939\x0925
41\x0923\x0943\x0921\x0920\x0946\x0918\x0948
16\x0950\x0914\x0952\x0953\x0911\x0955\x099
57\x097\x0959\x095\x094\x0962\x092\x0964
完成幻方,幻和值260.
方法二；将幻方等分成m*m个4阶幻方,将各4阶幻方中对角线上（或非对角线上）的方格内数字与n阶幻方内以中心点为对称点的对角数字进行交换.
下图为将各4阶幻方中对角线上的方格内数字与n阶幻方内以中心点为对称点的对角数字进行交换,完成幻方,幻和值260.
64\x092\x093\x0961\x0960\x096\x097\x0957
9\x0955\x0954\x0912\x0913\x0951\x0950\x0916
17\x0947\x0946\x0920\x0921\x0943\x0942\x0924
40\x0926\x0927\x0937\x0936\x0930\x0931\x0933
32\x0934\x0935\x0929\x0928\x0938\x0939\x0925
41\x0923\x0922\x0944\x0945\x0919\x0918\x0948
49\x0915\x0914\x0952\x0953\x0911\x0910\x0956
8\x0958\x0959\x095\x094\x0962\x0963\x091
下图为将各4阶幻方中非对角线上的方格内数字与n阶幻方内以中心点为对称点的对角数字进行交换,完成幻方,幻和值260.
1\x0963\x0962\x094\x095\x0959\x0958\x098
56\x0910\x0911\x0953\x0952\x0914\x0915\x0949
48\x0918\x0919\x0945\x0944\x0922\x0923\x0941
25\x0939\x0938\x0928\x0929\x0935\x0934\x0932
33\x0931\x0930\x0936\x0937\x0927\x0926\x0940
24\x0942\x0943\x0921\x0920\x0946\x0947\x0917
16\x0950\x0951\x0913\x0912\x0954\x0955\x099
57\x097\x096\x0960\x0961\x093\x092\x0964
2、Strachey法生成双偶幻方
第一步,将n阶双偶幻方表示为4m阶幻方.将其等分为四分,成为如下图所示A、B、C、D四个2m阶偶数幻方.
A C
D B
A用1至(2m)^2填写成2m阶幻方；B用(2m)^2+1至2*(2m)^2填写成2m阶幻方；C用2*(2m)^2+1至3*(2m)^2填写成2m阶幻方；D用3*(2m^)2+1至4*(2m)^2填写成2m阶幻方；
将8阶双偶幻方表示为4×2阶幻方.将其等分为四个2×2阶偶数幻方,即4阶偶数幻方.
16\x092\x093\x0913\x0948\x0934\x0935\x0945
5\x0911\x0910\x098\x0937\x0943\x0942\x0940
9\x097\x096\x0912\x0941\x0939\x0938\x0944
4\x0914\x0915\x091\x0936\x0946\x0947\x0933
64\x0950\x0951\x0961\x0932\x0918\x0919\x0929
53\x0959\x0958\x0956\x0921\x0927\x0926\x0924
57\x0955\x0954\x0960\x0925\x0923\x0922\x0928
52\x0962\x0963\x0949\x0920\x0930\x0931\x0917
第三步,在A每行取m个小格（一侧对角线格为必换格,其余m-1格只要不是另一侧对角线格即可）,将其与D相应方格内交换；B与C以相同方法进行.
对于8阶幻方,A每行取2个小格（一侧对角线格为必换格,其余1格只要不是另一侧对角线格即可）,要与D相应方格内交换；C与B以相同方法进行.
最简单的方法就是：A任意2列,与D相对应的2列互换,C任意2列,与B相对应的2列互换即可.
64\x0950\x093\x0913\x0948\x0934\x0919\x0929
53\x0959\x0910\x098\x0937\x0943\x0926\x0924
57\x0955\x096\x0912\x0941\x0939\x0922\x0928
52\x0962\x0915\x091\x0936\x0946\x0931\x0917
16\x092\x0951\x0961\x0932\x0918\x0935\x0945
5\x0911\x0958\x0956\x0921\x0927\x0942\x0940
9\x097\x0954\x0960\x0925\x0923\x0938\x0944
4\x0914\x0963\x0949\x0920\x0930\x0947\x0933
或
64\x0950\x093\x0913\x0932\x0918\x0935\x0945
53\x0959\x0910\x098\x0921\x0927\x0942\x0940
57\x0955\x096\x0912\x0925\x0923\x0938\x0944
52\x0962\x0915\x091\x0920\x0930\x0947\x0933
16\x092\x0951\x0961\x0948\x0934\x0919\x0929
5\x0911\x0958\x0956\x0937\x0943\x0926\x0924
9\x097\x0954\x0960\x0941\x0939\x0922\x0928
4\x0914\x0963\x0949\x0936\x0946\x0931\x0917
等等完成幻方,幻和值260.
二、单偶幻方的解法
单偶幻方用Strachey法完成：将n阶单偶幻方表示为4m+2阶幻方.将其等分为四分,成为如下图所示A、B、C、D四个2m+1阶奇数幻方.
A C
D B
A用1至2m+1填写成(2m+1)2阶幻方；B用(2m+1)2+1至2*(2m+1)2填写成2m+1阶幻方；C用2*(2m+1)2+1至3*(2m+1)2填写成2m+1阶幻方；D用3*(2m+1)2+1至4*(2m+1)2填写成2m+1阶幻方；
【注：(2m+1)2是(2m+1)的平方,以下同】
8\x091\x096\x0926\x0919\x0924
3\x095\x097\x0921\x0923\x0925
4\x099\x092\x0922\x0927\x0920
35\x0928\x0933\x0917\x0910\x0915
30\x0932\x0934\x0912\x0914\x0916
31\x0936\x0929\x0913\x0918\x0911
在A每行取m个小格（中心格及一侧对角线格为必换格,其余m-1格只要不是另一侧对角线格即可）,也就是说在A中间一行取包括中心格在内的m个小格,其他行左侧边缘取m个小格,将其与D相应方格内交换；B与C任取m-1列相互交换.
6阶幻方就是4*1+2,那么m就是1.在A中间一行取中心格1个小格,其他行左侧边缘取1个小格,将其与D相应方格内交换；B与C接近右侧m-1列相互交换（6阶幻方m-1=0,则不用互换）.如下图用Strachey法生成的6阶幻方：
35\x091\x096\x0926\x0919\x0924
3\x0932\x097\x0921\x0923\x0925
31\x099\x092\x0922\x0927\x0920
8\x0928\x0933\x0917\x0910\x0915
30\x095\x0934\x0912\x0914\x0916
4\x0936\x0929\x0913\x0918\x0911
每一行,每一列,对角线的和值（称为幻和值）为111.
一个n阶幻方幻和值公式为：
Nn=1/2xn(n2+1)
【注：n2是n的平方】
N6=1/2x6x(36+1)=111