数学的美丽在那?

数学的美丽在那?
数学的美丽在那?

数学的美丽在那?
欧拉是“数学界的莎士比亚”,在1707年的一个阳光明媚的日子,他在瑞士的巴塞尔来到了人间,正是这样一个天才,他将改变数学史,整个科学史,甚至是人类历史.13岁那年,欧拉就考进了巴塞尔大学,在那里,他得到了当时最著名的数学家约翰·伯努利的教导,并于17岁就获得硕士学位.从此开始了他的科学生涯.据说欧拉一生写了886本书和数千篇论文,后来为了整理他的著作时,竟用了足足47年!在数学中,大家公认有一个最美丽的公式,而它的发现者就是巴塞尔的那个欧拉它出现在1784年.在看那个公式之前,我们先来看一下它的一般形式：eiθ=cos θ+isinθ 这就是欧拉公式.其中,e是自然对数的那个底数,i是虚数的单位.恩,好了,假如我们令θ=π的话,会得到什么呢?恩eiπ=cos π+isinπ= -1+0 或者再变形一下,eiπ+1= 0 这就是数学中最美丽的那个公式,欧拉公式的特例.为什么说它是最美丽的呢?看,它将数学中最重要的那几个常数都联系到了一起.0、1、e、π、i,其中,0、1代表了算术,那最古老、最基本的数学分支；e代表了分析学；而圆周率π可以代表几何；还有虚数单位i表示的是代数.哇,一条公式就将四个数学分支联系到了一起,无疑是最美丽的!其实,不仅如此.欧拉公式还有不小的威力,从而使得它的美丽地位更加牢固.比如说,它可以使我们把三角学的问题转回复数问题来解决,等等.这令我想起了沈致远的一本书《科学是美丽的》,咱们不如再具体些——数学是美丽的.
（1）完备之美
　　
　　没有那一门学科能像数学这样,利用如此多的符号,展现一系列完备且完美的世界.就说数吧,实数集是完备的,任意多的实数随便做加减乘除乘方开方,其结果依然是实数（注意：数学上完备是根据序列的收敛性严格定义的,我这里不是完备的严格说法,但可认为是广义的说法）.引入虚数单位,实数集扩展到复数集,还是任意多的复数,还做那些运算,结果还是复数.
　　
　　把具体的数抽象成空间中的点,在一定的假设和约定之下,可以得到完备的空间,这些空间可以是一维的,也可以是二维三维甚至多维的.三维之外,你就难以想象,但不能否认其存在.某空间的点、序列依一定的法则进行运算,依然不能离开那个空间,这就是完备性.这种完备性是很奇妙的.你可以把它想象成在一个球体中,不管你如何运动,总是不能钻出球面.
　　
　　具有完备性的空间,可以带来许多好处.工程中用得最多的空间是Hilbert空间.顺便提一句,Hilbert是个二十世纪最伟大的数学家之一.
　　
　　另外,数学中的诸多体系,其本身也都是完备的,如欧式几何,这是大家所熟知的,在几个公理的基础上,推演出一系列漂亮的结论,生命力经久不衰,尤其在工程运用中.
　　
　　
　　（2）对称之美
　　
　　提到对称的美,大家首先想到的是几何,其实几何只是一方面,是“看得见”的那一方面.实际上,对称性在数学中处处存在.如微积分的基本定理,展现了微分与积分之间的紧密联系,本身具有很强的对称性.如泛函中的对偶算子,不但在运算上具有显著的对称性,在性质上也处处显示出一致性.
　　
　　（3）简洁之美
　　
　　数学中有个非常漂亮的公式,那就是欧拉公式.这个式子把数学中几个“伟大的”数给联系到了一块,它们分别是自然对数、圆周率、虚数单位以及1,其中前两个是超越数,是无数个超越数中人类目前仅仅找到的两个,而且这两个对数学影响巨大.我大胆猜想,当下一个超越数被找到的时候,数学将会经历另一场巨大的革命.虚数单位今天看起来没什么特别,但它刚被引进的时候曾受到众多（大）数学家的置疑和反对,最后它终于还是进来了,而数学也开辟了一条康庄大道,那就是复变函数.
　　
　　勿庸置疑,欧拉公式是简洁而完美的,另一个可以跟它抗衡的式子出现在物理学中,那就是爱因斯坦的质能变换公式.我这种说法可能有点武断,不过我目前只能想到这一点,呵呵.
　　
　　（4）抽象之美
　　
　　这一点可能会引起许多人的异议,因为在许多人看来,抽象是不好的,因为离现实太远.可是我不这么认为,数学如果不抽象,便难以发展,虽然很多问题都是从现实引出的.数学建立在符号逻辑的基础之上,即使是解决实际问题,也要把问题抽象出来,用数学符号表示,才可以很好的解决.另一方面,抽象的数学,能带动你在无限的思维空间中遨游,抛开一切杂念,成为一种美好的享受.当然,这有点理想化,但不可否认,这确实是一种美的体验.

逻辑美

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圆锥曲线。。

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曲线的美