图片数学题应该怎么算?就是这道题.

来源：学生作业帮助网编辑：六六作业网时间：2025/02/03 00:07:35

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图片数学题应该怎么算?

就是这道题.

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本题主要考察二重积分次序的互换.
原式=∫(0,1)[ ∫(1,x)ln(t+1)/tdt]/√x dx 将t替换成x,x替换成y
=∫(0,1)[ ∫(1,y)ln(x+1)/xdx]/√y dy
=-∫(0,1)[ ∫(y,1)ln(x+1)/xdx]/√y dy
=-∫∫[ln(x+1)/x]/√y dxdy
积分区域为D：
y≤x≤1
0≤y≤1
也即y=x与x正半轴和x=1围成的等腰直角三角形.
变换积分次序,得
原式=-∫∫[ln(x+1)/x]/√y dxdy
=-∫∫[ln(x+1)/x]/√y dydx
=-∫(0,1) [∫(0,x)[ln(x+1)/x]/√y dy]dx
=-∫(0,1) [ln(x+1)/x]*[∫(0,x) 1/√y dy]dx
=-∫(0,1) [ln(x+1)/x]*2√x dx
=-∫(0,1) 4ln(x+1)*d(√x)
=∫(0,1) √x*4/(x+1)dx- 4ln(x+1)*√x |(0,1) 令x=s^2,则dx=2sds
=∫(0,1) 4s/(s^2+1)*2sds-4ln2
=8∫(0,1) [1-1/(s^2+1)]ds-4ln2
=8(s-arctans)|(0,1)-4ln2
=8(1-π/4)-4ln2
=8-2π-4ln2
不明白请追问.

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