在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD与底面ABCD垂直,PD=DC,E是PC的中点,作EF⊥PB于点F（Ⅰ）证明PA∥平面EBD．（Ⅱ）证明PB⊥平面EFD． 图片各位应该可以画出来 我还传不了图片 老师教的方
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/24 01:01:23
在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD与底面ABCD垂直,PD=DC,E是PC的中点,作EF⊥PB于点F（Ⅰ）证明PA∥平面EBD．（Ⅱ）证明PB⊥平面EFD． 图片各位应该可以画出来 我还传不了图片 老师教的方
在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD与底面ABCD垂直,PD=DC,E是PC的中点,作EF⊥PB于点F
（Ⅰ）证明PA∥平面EBD．
（Ⅱ）证明PB⊥平面EFD．
图片各位应该可以画出来 我还传不了图片
老师教的方法是设法向量 然后在算出法向量 可是我第一问做出来的法向量与面EBD不垂直 是怎么回事 请以D为原点 DA DC DP 为x y z 建立坐标系做题.
我要 坐标的算法啊
在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD与底面ABCD垂直,PD=DC,E是PC的中点,作EF⊥PB于点F（Ⅰ）证明PA∥平面EBD．（Ⅱ）证明PB⊥平面EFD． 图片各位应该可以画出来 我还传不了图片 老师教的方
如图,取坐标系：
D﹙0,0,0﹚, A﹙1,0,0﹚, C﹙0,1,0﹚,P﹙0,0,1﹚,
则E﹙0,1/2,1/2﹚,PB＝﹛1,1,-1﹜,PA＝﹛1,0,-1﹜
⑴ 平面EBD的法向量＝DB×DE∥n1＝﹛1,1,0﹜×﹛0,1,1﹜＝﹛1,-1,1﹜
∵PA•n1＝﹛1,0,-1﹜•﹛1,-1,1﹜＝0.∴PA⊥n1 PA∥平面EBD．
⑵ 设F﹙x,y,z﹚ 直线PB方程x＝-t,y＝-t,z＝t+1 ﹙参数式﹚
EF²＝t²+2﹙1/2+t﹚²＝3﹙t+1/3﹚²+1/6 t＝-1/3时最小,此时EF⊥PB ∴F﹙1/3,1/3,2/3﹚
平面EFD的法向量＝DE×EF∥n2＝﹛0,1,1﹜×﹛2,-1,1﹜＝﹛2,2,-2﹜
∵PB＝﹛1,1,-1﹜∥﹛2,2,-2﹜＝n2 ∴PB⊥平面EFD．
