设f(x)在闭区间[a,b]上连续,x1,x2,...,xn是区间[a,b]上的点,求证在区间[a,b]上至少存在一点t,使得f(t)=(1/n)f(x1)+(1/n)f(x2)+...+(1/n)f(xn).
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/25 15:37:06
设f(x)在闭区间[a,b]上连续,x1,x2,...,xn是区间[a,b]上的点,求证在区间[a,b]上至少存在一点t,使得f(t)=(1/n)f(x1)+(1/n)f(x2)+...+(1/n)f(xn).
设f(x)在闭区间[a,b]上连续,x1,x2,...,xn是区间[a,b]上的点,求证在区间[a,b]上至少存在一点t,使得f(t)=(1/n)f(x1)+(1/n)f(x2)+...+(1/n)f(xn).
设f(x)在闭区间[a,b]上连续,x1,x2,...,xn是区间[a,b]上的点,求证在区间[a,b]上至少存在一点t,使得f(t)=(1/n)f(x1)+(1/n)f(x2)+...+(1/n)f(xn).
记m=min{f(x1)...,f(xn)},M=max{f(x1),f(x2),...,f(xn)},则
m
因为f(x)在[a,b]上连续，必可在这区间上取得最大值M有最小值m，即对一切x∈[a,b]，有m≤f(x)≤M
所以m≤f(xi)≤M（i=1，2，…，n）
因为m=nm/n≤[f(x1)+f(x2)+…+f(xn)]/n≤nM/n=M
由介值定理，存在一点t,使得f(t)=(1/n)f(x1)+(1/n)f(x2)+...+(1/n)f(xn)
证：设所需证明的等式右端的值为L，并记f(xl)＝max(1≦j≦n)｛f(xj)｝，
f(xm)＝min(1≦j≦n)｛f(xj)｝，
则易证f(xm)≦L≦f(xl).，
于是由连续函数的介值定理知：
在区间［a，b］上必有点t，使f(t)＝1/nf(x1)＋1/nf(x2)＋1/3f(x3)＋……＋1/nf(n).
根据闭区间上连续函数的中间值定理，闭区间上连续函数一定能取到最大值和最小值之间的任何一个值，由于
min(x∈[a,b]){f(x)}<=1/n (f(x1)+f(x2)+···+f(xn))<=max(x∈[a,b]){f(x)}
所以在[a,b]上有f(t)=1/n *(f(x1)+f(x2)+···+f(xn))成立
望采纳！
fuck fuck fuck 我不会.