【高数】问一道积分题（点击大图可放大）
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/15 16:45:19
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(1/2)∫根号（原式）dx^2=(1/2)∫根号（（1-x）/（1+x））dx
=(1/2)∫根号（（1-x^2）/（1+x）^2）dx
=(1/2)∫根号（1-x^2）/（1+x）dx
令x=sin（x）
=(1/2)∫cos（x）^2/（1+sin（x）dx
=(1/2)∫(1-sin(x)^2)/（1+sin（x））dx
=(1/2)∫1-sin(x)dx
=(1/2)[x+cox(x)](上限为π/2,下限为0)=π/4-1/2
原式=(1/2)∫(0,1)√[(1-x²)/(1+x²)]d(x²) (∫(0,1)表示从0到1积分，以下类同)
=(1/2)∫(0,1)√[(1-x)/(1+x)]dx (用x代换x²)
=(1/2)∫(0,1)4t²/(1+t²)²dt (令t=...
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原式=(1/2)∫(0,1)√[(1-x²)/(1+x²)]d(x²) (∫(0,1)表示从0到1积分，以下类同)
=(1/2)∫(0,1)√[(1-x)/(1+x)]dx (用x代换x²)
=(1/2)∫(0,1)4t²/(1+t²)²dt (令t=√[(1-x)/(1+x)])
=2∫(0,1)[1/(1+t²)-1/(1+t²)²]dt
=(2arctant)│(0,1)-2∫(0,1)1/(1+t²)²dt
=π/2-2∫(0,1)1/(1+t²)²dt
=π/2-2∫(0,π/4)sec²z/(sec²z)²dz (令t=tanz)
=π/2-2∫(0,π/4)cos²zdz
=π/2-∫(0,π/4)[1+cos(2z)]dz
=π/2-[z+sin(2z)/2]│(0,π/4)
=π/2-(π/4+1/2)
=π/4-1/2。
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