如何证明,周长相等的封闭平面图形,圆的面积最大.
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/16 11:56:02
如何证明,周长相等的封闭平面图形,圆的面积最大.
如何证明,周长相等的封闭平面图形,圆的面积最大.
如何证明,周长相等的封闭平面图形,圆的面积最大.
前一位用的解法是Steiner解法 ,一般人可以理解的 具体的你可以搜下.如果你要严谨的解法,要学习泛函分析中的变分法.自己自学下 不过比较难~
你拿条线来
分别圈成不同图形。
很明显，圆的面积最大
或是有数值方法证明。
R=L/2π
S=1/2πr^2
而正方形
r=L/4
面积S=r^2
以此类推 比较！你这个不是数学证明！我首先要证明，面积最大的图形满足一个性质：一条平分周长的直线（暂且把它叫做周长平分线），一定也平分面积。因为，如果不平分面积的话，那么我总可以把...
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你拿条线来
分别圈成不同图形。
很明显，圆的面积最大
或是有数值方法证明。
R=L/2π
S=1/2πr^2
而正方形
r=L/4
面积S=r^2
以此类推 比较！
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设周长都为L，然后用其导出面积即可
我补充一下处理光滑性的手段吧。
1.假定已经证明了光滑曲线的等周不等式L^2/A>=4pi，其中只有圆能取到等号。那么可以证明非光滑的曲线不可能出现L^2/A<4pi。因为如果存在这样的曲线，那么可以用充分光滑的曲线(x_n(t),y_n(t))一致逼近(x(t),y(t))，这就与已经证明的结论矛盾。再利用Steiner的证明知道最值如果存在一定唯一，这样得到圆是唯一满足的曲线。
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我补充一下处理光滑性的手段吧。
1.假定已经证明了光滑曲线的等周不等式L^2/A>=4pi，其中只有圆能取到等号。那么可以证明非光滑的曲线不可能出现L^2/A<4pi。因为如果存在这样的曲线，那么可以用充分光滑的曲线(x_n(t),y_n(t))一致逼近(x(t),y(t))，这就与已经证明的结论矛盾。再利用Steiner的证明知道最值如果存在一定唯一，这样得到圆是唯一满足的曲线。
2.另一种手段是先对光滑凸曲线讨论，然后对于普通的凸曲线，利用凸性可以得到最多只有可列个非光滑点。对整个区域向外平行推出p个单位长度（非光滑点(也就是尖角)对应的扩展区域可以用一段圆弧连接），得到原区域的p-平行集，然后设法证明Steiner不等式L_p<=L+2pi*p和A_p<=A+L*p+pi*p^2。由于p-平行集的边界一阶光滑，这样也可以用已有的结论来得到原来区域上的等周不等式。具体过程还是比较麻烦的，你可以去看Guggenheimer的微分几何。
3.Hurwitz 1902年的证明是基于Fourier级数的，据说也是不依赖光滑性的。这个可以理解，Fourier级数本身对光滑性的要求比较低，你可以去查一下Hurwitz的证明。
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