求一篇关于“数学的发展与人类文明的进步”的论文

求一篇关于“数学的发展与人类文明的进步”的论文
求一篇关于“数学的发展与人类文明的进步”的论文

求一篇关于“数学的发展与人类文明的进步”的论文
数学是人类文明进步的力量.这句话,讲起来似乎很玄.社会发展、文明进步主要是依靠科学技术推动生产力和生产关系的发展,依靠民族文化素质的不断提高,与数学何干?
然而,纵观古今中外人类文明的发展史,任何时期、任何朝代,无论是政治、军事还是经济、文化的进步,数学都无一例外地起着巨大的推动作用.
人类文明的进步主要体现在生产力和生产关系的发展.“科学技术是第一生产力”,“科学技术的基础是应用科学,而应用科学的基础是数学”,这一论述揭示了数学在生产力中的巨大作用.
1．数学作为工具,在科学研究中的应用非常广泛.从文艺复兴时期到20世纪中期出版的被称为“改变世界”的16本自然科学和社会科学专著中,有10本（《天体运行》、《血液循环》、《自然哲学和数学原理》、《物种的起源》、《相对论原理》、《常识》、《国富论》、《人口论》、《资本论》、《论制海权》）都直接运用了数学原理.爱因斯坦正是深受数学家黎曼的著作之影响而建立了广义相对论；量子力学的创始人海森堡采用了数学中的矩阵来描物理量,从而建立了量子力学.1917年数学家拉顿在积分几何研究中引入了一种数学变换（拉顿变换）,几十年后柯尔马克和洪斯菲尔德巧妙地运用拉顿变换,设计出X射线断层扫描仪——CT,为医学诊断技术作出了巨大贡献.1900—1965年世界范围内社会科学方面的62项重大成就,其中数学化的定量研究就占2/3.从1969年至1981年间颁发的13个诺贝尔经济学奖中,就有7项成果借用了现代数学理论.
2．数学作为一门技术,直接推动了科技的飞速发展.数学是一种普遍适用的技术,它可以帮助人们在搜集、整理、描述、探索和创造中建立问题的模型,通过研究模型来解决相关的问题,作出正确的判断.
在当代高新技术中很多问题都要通过建立数学模型,应用数学方法并借助计算机的计算、模拟、仿真和控制来实现计算机行业的软件比重早已超过硬件,而软件技术本质上是数学技术.日本从60年代起就投入巨资研制模拟式高清晰度电视,而美国在1991年提出了先进的数字式系统,迫使日本退出竞争；波音——777型民航机由于采用了百分之比的数字化手段,使得产品从确定计划到样机出厂只用了三年半的时间,在国际市场竞争中掌握了主动权.
军事科学中,运用蒙特卡罗方法建立的概率模型,可在实战前对作战双方的军事实力、政治、经济、地理、气象等因素进行模拟,以选择出对自己一方既有利又最稳妥的作战方案.1991年的海湾战争前,美国曾顾虑伊拉克会点燃科威特的油井而引起全球性污染,一家公司利用流体力学的基本原理及热传导方程建立了数学模型,用计算机仿真,得出否定结果,对美军发动海湾战争起了相当大的作用.
在经济和管理过程中,数学技术在其中每一个环节都扮演了重要角色.任何一个产品,从原材料检验、下料、分类、运输、供应,到产品毛坯的准备、加工、物流、贮存、检测、装配、包装,到销售、服务、市场开发,直到市场信息反馈、成本核算、产品改进设计等等,数学中的最优化决策论原理促进了产品设计、生产与开发的科学化.
足以表明：信息时代即为数学时代,随着计算机的出现,兼有科学和技术两种品质的数学渗入到各行各业,并且物化到各种先进设备之中,促进了各行业科技含量迅速提高.科技的突飞猛进依赖于数学技术.
人类文明的进步还体现在民族素质的提高.生产力的决定因素是人,人类素质的提高促进生产力的进一步发展,一个民族的强弱在很大程度上取决于全体公民数学素质的高低.
“数学作为一种文化,具有比数学知识更为丰富和深邃的文化内涵,数学文化是对数学知识、技能、能力和素质等概念的高度概括,”通过数学的学习,可以接受数学精神和数学思想方法的熏陶,提高思维能力、锻炼意志和品质,并把它们迁移到学习、工作和生活中去.日本数学教育家米山国藏认为,学生在进入社会后,如果没有什么机会应用,那么作为知识的数学,通常在出校门后不到一两年就会忘掉,然而不管他们从事什么工作,那种铭刻在脑中的数学精神和数学思想方法,会长期在他们的生活和工作中发挥着重要作用.
1．数学可以培养人正直与诚实的品质.
数学是最讲究真实的一门科学,容不得半点虚假,一切结果都必须有根有据,经得起反复推敲和检验.法国哲学家、数学家伽森狄说：“谁从小受数学的熏陶到那样一种程度,即已经习惯于数学的那种不容置辩的证明,谁就能培养成认识真理的能力,从而不会轻易放过虚伪和假象”.
数学最讲究以理服人,它只信奉逻辑推理的结果而不屈从任何权威.实实在在,实事求是,无论是谁,要想在数学上得到承认,都必须尊重事实并在逻辑上站得住脚.从历史上看,哲学、天文学、物理学、医学、生物学都曾屈从过神学或政治,唯有数学保持着自身俨然不可侵犯的独立和在真理面前人人平等的信念,甚至连“上帝”也要服从数学.在英国的大学里,律师专业的学生要学习许多高数课程,正是因为经过严格的数学训练后,能使人养成一种坚定不移而又客观公正的品格,形成严格而又准确的思维习惯.数学是科学的思维.
2．数学可以培养人的顽强与勇气.
数学的特点之一是高度的抽象性,数学知识的系统性又特别强,这些特点决定了学习数学必须坚持不懈、刻苦努力.从欧几里得时代到19世纪,两千年漫长的时间里,许多数学家对几何学中的第五公设曾作出种种证明,尽管他们的证明是无效的,但人们逐步认识了第五公设在《几何原本》中的特殊地位,明确了与第五公设等价的一些命题,获得了一些非殴几何的内容,使公理化方法向前推进了一大步,为非欧几何的出现创造了必要条件.几百年来,人们在寻求哥德巴赫猜想的证明过程中,不也获得了许多意想不到的成就.
在著名的美国西点军校,开设了许多高深的数学课程,其目的就是使学生得到意志和毅力的训练,进而具有把握军事行动的能力与适应性,为驰骋疆场打下基础.
伟大的数学教育家波利亚认为：“困难和问题属于同一概念,没有困难,也就没有问题了.”教学生解题就是教学生如何努力去克服困难,顽强的毅力和勇气是一个民族积极向上的、不可替代的源动力.
3．数学可以培养人的整体意识.
数学题的求解必须从已知到结论全面地考虑问题,并把握各方面的相互联系,数学教学可以培养学生从全局上全面地考虑问题的习惯,从而把握住全局与局部、局部与局部之间的联系,弄清事物的各个部分的地位和作用,弄清该事物与他事物的位置,从而弄清事物全貌,学会全面地分析数学问题,从而学会全面地分析周围的人和事,进而全面地分析社会,能使公民顾全大局,在关键时刻以国家、集体利益为重.
4．数学可以培养人的优化意识.
数学作为从量的方面处理各种关系的科学,常用来处理最优化问题,小到一个小组的日常工作和计划的安排,大至整个部门,以至国民经济的计划,都要求最优化的组合,要求最优化的方案和对策.由于数学中经常讨论最大值、最小值、最佳解题对策、最优解等问题,因此,数学教学可以培养学生从事物发展的众多的可能性中寻找最优的可能性的习惯,并懂得研究事物向最优化方向发展的条件,努力去创造这种条件.最优化思想应成为每个公民的素质.
在科学数学化、社会数学化的今天,要求所有的人都必须掌握更多更有用的数学知识,要求人们掌握一定的数学方法,更多的数学地思考问题.数学在为社会培养所需要的具有好品质、强能力、高素质的人中具有巨大的作用.数学是人类文明进步的力量.

数学史与数学教育( HPM) 的一个案例———刘徽的“割圆术”与微积分
[摘 要] 刘徽的“割圆术”是中国数学史上的重要成就之一,其中包含着中国数学家对无限问题的独特认识和致用的处理方式. 很多高等数学教科书在讲述极限概念时大都提及,但所述,并未体现刘徽本意. 刘徽的“割圆术”是为证明圆面积公式而设计出来的一种方法,其融合了庄、墨两家理解和处理无限问题的方法,并且使用了数列极限的“夹逼准则...

全部展开

数学史与数学教育( HPM) 的一个案例———刘徽的“割圆术”与微积分
[摘 要] 刘徽的“割圆术”是中国数学史上的重要成就之一,其中包含着中国数学家对无限问题的独特认识和致用的处理方式. 很多高等数学教科书在讲述极限概念时大都提及,但所述,并未体现刘徽本意. 刘徽的“割圆术”是为证明圆面积公式而设计出来的一种方法,其融合了庄、墨两家理解和处理无限问题的方法,并且使用了数列极限的“夹逼准则”和不可分量可积的预设. 通过这些相关知识的历史考察,试图以HPM 的方法来辅助解决极限概念教学的难题.

[关键词] 刘徽;割圆术;无限;可积

《高等数学》[ 1 ] 在讲授数列极限概念之前,介绍了我国古代数学家刘徽的割圆术中极限思想,进而引入数列极限的描述定义. 实际上,刘徽借“割圆术”方法,凭借其高超的对无限问题的理解和致用的处理方式,以“不可分量可积”前提、“夹逼准则”等知识证明了圆的面积公式,运算中包含着微积分的思想. 另外要指出的是,他利用证明圆面积公式所设计出的机械性的算法程序,求得的圆周率的近似值———徽率（157÷50）. 郭书春先生认为,刘徽在世界上最先把无穷小分割和极限思想用于数学证明. [2 ]
1 刘徽的“割圆术”
我国古代数学经典《九章算术》第一章“方田”中有我们现在所熟悉圆面积公式“半周半径相乘得积步”. 魏晋时期数学家刘徽为证明这个公式,于公元263 年撰写《九章算术注》,在这一公式后面写了一篇长约1800 余字的注记———“割圆术”.
“⋯⋯割之弥细,所失弥少. 割之又割,以至于不可割,则与圆周合体而无所失矣! 觚面之外,犹有余径,以面乘余径,则幂出弧表. 若夫觚之细者,与圆合体,则表无余径. 表无余径,则幂不外出矣. 以一面乘半径,觚而裁之,每辄自倍,故以半周乘半径而为圆幂. ”[3 ]
2 几点注记
在证明这个圆面积公式的时候有两个重要思想,一个就是我们现在所讲的极限思想. 第二个是无穷小分割思想.
2.1 数列极限的夹逼准则
刘徽利用割圆术证明圆的面积公式时,用了“夹逼准则”(Squeeze Theorem) . 他从圆内接正6 边形开始割圆,设圆面积为S0 ,半径为r ,圆内接正n 边形边长为l n ,周长为L n ,面积为S n ,将边数加倍后,得到圆内接正2 n 边形的边长、周长、面积分别记为: l2 n 、L2 n 、S2 n .
刘徽用“勾股术”得[4 ] :
若知L n ,则可求出圆内接正2 n 边形的面积:
刘徽认为,“觚面之外,犹有余径,以面乘余径,则幂出弧表”:
S2 n < S0 < S n + 2 ( S2 n - S n ) = S2 n + ( S2 n - S n ) ,
“若夫觚之细者,与圆合体,则表无余径. 表无余径,则幂不外出矣. ”
limn →∞S2 n < S0 < limn →∞( S n + 2 ( S2 n - S n ) ) = limn →∞( S2 n + ( S2 n - S n )).
即在n 趋于无穷大时,圆内接正多边形的面积就是圆面积.
2.2 折中的无限分割方法
关于量可分的两种假定,在中国古代对应着两个命题.“一尺之棰,日取其半,万世不竭”的“尺棰命题”中隐含着一个量无限可分(潜无限) 的假定. 而“非半弗斫,说在端”的“非半弗斫”命题则认为一个量是有非常多的极微小的不可分部分组成的.
与西方的数学家不同,中国古代的数学家从未受到无限问题的困扰. 刘徽在遇到无理数时采用“开方不尽求微数⋯⋯”. 显然,尽管刘徽对“开方不尽”的理解比前人深刻,但中国古代数学重视实际的传统的确是限制了对理论问题作更深层次的探讨. 因而,这也阻碍了无理数的发现. 刘徽认为只须得到无限接近的一个值就可以;因此他只关心重要计算方法,而根本不用考虑这个无限问题本身的性质. 对于割圆术,刘徽显然受墨家思想的影响很深,而且刘徽对割圆术的处理也比较符合中国古代数学讲求直观的传统.
另外,从墨家的传统来看刘徽的处理也较好理解,实际上刘徽在无限的运用上,其思想和墨、道两家一脉相承[5 ] . 刘徽将道、墨两家的无限思想辩证地统一起来, 即无须由于受到无限的困扰. 刘徽道“⋯⋯割之又割,以至于不可割,则与圆周和体而无所失矣⋯⋯”. 同样,刘徽在“阳马术”(四棱锥体积) 中说道:“半之弥少,其余弥细,至细曰微,微则无形,由是言之,安取余哉?”[6 ] 这里刘徽对待无限的态度是作一个可操作的程序“割之”(或阳马术中的“半之”) 的动作. 同时这个动作又可无限地做下去,那么在极限过程下正多边形的周长即为圆的周长. 这种辩证的极限思想使有关“量的可分性”假定都得到了解释,从某种意义上来说刘徽的极限思想与现代的微积分思想一致.
2.3 不可分量可积的思想
刘徽受《墨经》的影响认为“不可分量可积”,除无限分割外,刘徽还利用不可分量可积的思想处理问题. 在他的观念里,线可以看成是由一系列点组成的,面可以看成是由一系列线组成的,体可以看成是由一系列面组成的. 这样刘徽在处理无限问题而作积分时就有了思想依据. 他在“割圆术”中通过对无限分割的独特理解,和夹逼准则的使用,认为极限状态下考虑与圆合体的正无穷多边形,它们是由以圆心为顶点,以每边为底的无穷多个小等腰三角形,此小等腰三角形是不可分量.此时,设圆周长为L ,每个小等腰三角形的底边长为l ,面积为A . 刘徽以“不可分量可积”为前提容
易得到所有等腰三角形的底边可积为圆的周长L : ∑l = L . 于是, ∑rl = r ∑ln = L r = ∑2A
= 2 ∑A = 2 S0 ,“故以半周乘半径而为圆幂”:S0 =1/2L r.
2.4 目的是证明圆面积公式而非求圆周率
刘徽费尽周折,殚精竭虑创立包含着朴素微积分的割圆术,目的只是为证明圆的面积公式,从而他说:此以周、径,为至然之数,非周三径一之率也. 为此他同样使用割圆术中的数据,提出了求圆周率近似值的程序. 于是得到下表:
利用,S2 n < S0 < S n + 2 ( S2 n - S n ) = S2 n + ( S2 n - S n ) ,
得到:314×64/625< S0 < 314×169/625,
由S0 =1/2L r ,得L≈2 S2 n/r= 628. 故π=628/200= 3.14.
2.5 HPM 的思想
科学史上的诸多事实都显示出无穷概念的巨大重要性和深远影响. 实数系的逻辑基础在十九世纪末叶才被建立的事实之所以令人惊奇,正是因为人们在理解无穷这个概念上所遇到的巨大困难造成的.对无穷的思考并试图理解它和准确地定义它,是对人类智慧的一个挑战. 古希腊以降,无穷的概念就引起了先哲们的注意,但它固有的超越人类有限思维的特征,使得人们对它理解的进展十分缓慢. 希尔伯特曾说过,无穷是一个永恒的谜. 直到19 世纪,柯西和魏尔斯特拉斯给出极限的精确定义为止,人们都无法逾越这一思维中的结症.
因为极限的“ε2”定义,术语抽象且符号陌生,其中的辩证关系不易搞清. 这个概念中内含诸多玄机.它简练外表,隐藏了2000 余年来人类面对无限的困惑和努力. 这个定义包含着“动与静”的辩证法,包含着从有限到无穷的飞跃,包含着纯洁的数学美.
个体的认识规律会“重演”数学史的发展历程,因此在教学中,学生自然会提出的一系列问题:既然极限描述性定义简单明白,为什么要搞个“ε2”定义? 它与描述性定义有什么不同? 数学家怎么会想出这种“古怪而讨厌”的定义? 正如R ·柯朗和H ·罗宾所说:“初次遇到它时暂时不理解是不足为怪的,遗憾的是某些课本的作者故弄玄虚,他们不作充分的准备,而只是把这个定义直接向读者列出,好象作些解释就有损于数学家的身份似的. ”要弄清这些问题,只有翻开数学史,从哲学的角度认识极限法,这样不仅能帮助我们搞清极限的概念,也有助于建立正确的数学观念.
极限的精确定义和是微积分的理论基石. 但是要在几堂课内讲清楚困扰人类2000 余年极限问题,确实是个难题,HPM 也许是他山之石. 比如通过开辟第二课堂,或在课上,介绍刘徽“割圆术”中的微积分思想,对极限定义的理解将会大有裨益.
[参 考 文 献]
[1 ]同济大学数学教研室. 高等数学(上册,第四版) [M] . 北京:高等教育出版社,2000 ,33 - 34.
[2 ]郭书春. 中国古代数学[M] . 北京:商务印书馆,1997 ,164.
[3 ]郭书春汇校. 九章算术(上) [M] . 沈阳:辽宁教育出版社& 台湾九章出版社,2004 ,1.
[4 ]李文林. 数学史教程[M] . 北京:高等教育出版社& 施普林格出版社,2000.
[5 ]邹大海.《墨经》“次”概念与不可分量[J ] . 自然科学史研究,2000 ,19 (3) :222 - 233.
[6 ]郭书春. 汇校九章算术[M] . 沈阳:辽宁教育出版社,1990 ,287.
希望对您有帮助。

收起