在△ABC中,若向量AB²=向量AB·向量AC+向量BA·向量BC+向量CA+向量CB,则△ABC是?
来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/22 01:44:33
在△ABC中,若向量AB²=向量AB·向量AC+向量BA·向量BC+向量CA+向量CB,则△ABC是?
在△ABC中,若向量AB²=向量AB·向量AC+向量BA·向量BC+向量CA+向量CB,则△ABC是?
在△ABC中,若向量AB²=向量AB·向量AC+向量BA·向量BC+向量CA+向量CB,则△ABC是?
向量AB·向量AC+向量BA·向量BC+向量CA·向量CB
=向量AB·向量AC+向量AB·向量CB+向量CA·向量CB
=向量AB(向量AC+向量CB)+向量CA·向量CB
=向量AB^2+向量CA·向量CB
=向量AB²
所以向量CA·向量CB=0向量
CA⊥CB
△ABC是
直角三角形
基本思路是正确的,我看楼上那个有的步骤写的不太恰当,在我看来有的步骤是运用了射影定理(a=b·cosC+c·cosB,b=c·cosA+a·cosC,c=a·cosB+b·cosA。 ) 因为数量积不同于常数的相乘,是在绝对值相乘基础上再与夹角的余弦值相乘;大写字母表示边不容易看出关系就化成小写字母表示,例如AB=c AC=b BC=a 题中的式子就可以表示成c^2=|c||b|cosA+|c...
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基本思路是正确的,我看楼上那个有的步骤写的不太恰当,在我看来有的步骤是运用了射影定理(a=b·cosC+c·cosB,b=c·cosA+a·cosC,c=a·cosB+b·cosA。 ) 因为数量积不同于常数的相乘,是在绝对值相乘基础上再与夹角的余弦值相乘;大写字母表示边不容易看出关系就化成小写字母表示,例如AB=c AC=b BC=a 题中的式子就可以表示成c^2=|c||b|cosA+|c||a|cosB+|b||a|cosC=|c|(|b|cosA+|a|cosB)+|b||a|cosC=|c|^2+|b||a|cosC
式子两边消去c^2就得到|b||a|cosC=0 即(向量AC)点乘(向量BC)=0
显然AC与AB垂直,故证出为直角三角形。
PS:式子可能看的复杂,简单说下思路,
①将式子表示出来(字母越少越容易看出解法,当然就原题大写字母一样是可以做的)
②等式右边的前两项把AB(也就是c边)提出来,括号里的式子运用射影定理 c=a·cosB+b·cosA(此处是要用这个式子表示)
③等式两遍消去c^2,得到|b||a|cosC=0 即(向量AC)点乘(向量BC)=0 也就得到边AC与边BC垂直的关系了。
希望对童鞋们的理解有帮助。
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