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来源：学生作业帮助网编辑：六六作业网时间：2024/11/25 12:33:40

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三线合一
等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角平分线相互重合.
已知：三角形ABC为等腰三角形,AD为中线.
求证：AD垂直平分BC,BD=DC 等腰三角形ABC(AB=AC)
∵三角形ABC为等腰三角形 (已知）
∴AB=AC(等腰三角形的性质)
∴∠B=∠C（等边对等角）
∵AD为中线（已知）
∴BD=DC（等腰三角形中线为垂直平分线）
∵AD为公共边
∴△ADB≌△ADC（S.A.S)
可得∠BAD=∠CAD,∠ADB=∠ADC(全等三角形对应角相等）
∵∠ADB+∠ADC=∠BDC（已证）,且∠BDC=180度（平角定义）
∴∠ADB=∠ADC=90度,AD垂直于BC.
　　① 如果三角形中任一角的角平分线和它所对边的中线重合,那么这个三角形是等腰三角形.　　② 如果三角形中任一角的角平分线和它所对边的高重合,那么这个三角形是等腰三角形.　　③ 如果三角形中任一边的中线和这条边上的高重合,那么这个三角形是等腰三角形.　　总而言之：在一个三角形中,一边上的高线与此边上的中线,及此边对角角平分线中任意两线重合可推知此三角形为等腰三角形.

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