和为数列{An}前n项Sn,已知A1=1/2,Sn=n^2An-n(n-1）,(1)证明数列{（n+1）Sn/n}是等差数列并求出Sn(2)设Bn=Sn/n^3,求证：B1+B2+...+Bn
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/26 08:43:58
和为数列{An}前n项Sn,已知A1=1/2,Sn=n^2An-n(n-1）,(1)证明数列{（n+1）Sn/n}是等差数列并求出Sn(2)设Bn=Sn/n^3,求证：B1+B2+...+Bn
和为数列{An}前n项Sn,已知A1=1/2,Sn=n^2An-n(n-1）,(1)证明数列{（n+1）Sn/n}是等差数列并求出Sn
(2)设Bn=Sn/n^3,求证：B1+B2+...+Bn<1.
和为数列{An}前n项Sn,已知A1=1/2,Sn=n^2An-n(n-1）,(1)证明数列{（n+1）Sn/n}是等差数列并求出Sn(2)设Bn=Sn/n^3,求证：B1+B2+...+Bn
（1）.an=Sn-S(n-1) 代入上式中得：
Sn=n²[Sn-S(n-1)]-n(n-1)
(1-n²)Sn+n²S(n-1)=-n(n-1)
两边同除 -n(n-1) 得
[(n+1)Sn]/n-nS(n-1)/(n-1)=1
{(n+1)Sn/n}是等差数列 d=1 (1+1)S1/1=2a1=1
(n+1)Sn/n=1+(n-1)*1=n
Sn=n²/(n+1)
(2)Bn=Sn/n³=1/[n(n+1)]=1/n-1/(n+1)
B1+B2+.+Bn
=1-1/2+1/2-1/3+...+1/n-1/(n+1)
=1-1/(n+1)
=n/(n+1)
(1)由条件知：Sn=n^2(Sn-Sn-1)-n(n-1),整理一下，(n^2-1)Sn=n^2Sn-1+n(n-1),两边同除n(n-1),
得(n+1)Sn/n=nSn-1/(n-1)+1,这就是等差数列。
（2）由上一问可得(n+1)Sn/n=n,Sn=n^2/(n+1),则Bn=1/n(n+1)
B1+B2+B3+...+Bn=1-1/(n+1)=n/(n+1)（这是裂项法）哪里不明白问哦^-^