已知平面α经过点A(-3,5,1),B(2,1,4),且垂直于法向量为n=(1,-2,3)的另一平面,则平面α的一个法向量为______?
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/22 09:27:26
已知平面α经过点A(-3,5,1),B(2,1,4),且垂直于法向量为n=(1,-2,3)的另一平面,则平面α的一个法向量为______?
已知平面α经过点A(-3,5,1),B(2,1,4),且垂直于法向量为n=(1,-2,3)的另一平面,则平面α的一个法向量为______?
已知平面α经过点A(-3,5,1),B(2,1,4),且垂直于法向量为n=(1,-2,3)的另一平面,则平面α的一个法向量为______?
平面α就是下面求解过程中的F2.
如图,设A、B所在平面为F2,平面F1法向量为n,
由题意知F2垂直于F1,
则F2平行于向量n,也就是说n垂直于F2的所有法向量.
连接AB两点,形成向量AB＝（5,-4,3）,
AB在平面F2内,则AB垂直于F2的所有法向量.
设F2的任一法向量m=(x,y,z)；
由上面分析知：m垂直于n和AB,即
m*n＝0
m*AB＝0
分别将数值代入上式,化简得：
4x－2y＝0
令x=1,则y=2, 代入前面式子得：z=1；
至此得到了平面F2的一个法向量m=(1,2,1).
向量AB=(5,-4,3)
依题意，平面α的法向量与向量AB，法向量为n=(1,-2,3)垂直，
所以平面α的法向量可为：
(-4*3-(-2)*3, 3*1-3*5, 5*(-2)-1*(-4) )=(-6, -12, -6)。
这类题其实很简单，套公式而已。
但要知道行列式的计算，由于行列式打不出来，所以直接写出了计算。...
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向量AB=(5,-4,3)
依题意，平面α的法向量与向量AB，法向量为n=(1,-2,3)垂直，
所以平面α的法向量可为：
(-4*3-(-2)*3, 3*1-3*5, 5*(-2)-1*(-4) )=(-6, -12, -6)。
这类题其实很简单，套公式而已。
但要知道行列式的计算，由于行列式打不出来，所以直接写出了计算。
收起
设平面的α的法向量为η′=（x，y，z）
由题意得，AB向量与η′垂直，η′与η垂直。
AB向量=（5,-4,3）
AB向量×η′=5x-4y+3z=0
η′×η=x-2y+3z=0
有上式可知y=2x x=z
向量η′=（x,2x,x）
任取 x=1
则η′=（1,2,1）