f(x)=sinx+sin2x求导,并证明在cosx=(-1+根号33)\8时f(x)的值最大

f(x)=sinx+sin2x求导,并证明在cosx=(-1+根号33)\8时f(x)的值最大
f(x)=sinx+sin2x求导,并证明在cosx=(-1+根号33)\8时f(x)的值最大

f(x)=sinx+sin2x求导,并证明在cosx=(-1+根号33)\8时f(x)的值最大
对f(x)=sinx+sin2x求导得到
f '(x)=cosx +2cos2x
而cos2x=2cos²x -1
所以
f '(x)=4cos²x+cosx -2
令f '(x)=0
解得cosx= (-1+√33)/8或(-1-√33)/8
再对f '(x)求导得到
f "(x)= -8cosx*sinx -sinx =(-8sinx -1) *cosx
由极值的判定定理可以知道,
f '(a)=0且f "(a)<0时,f(a)为f(x)的极大值
而f "(x)=(-8sinx -1) *cosx
显然此时(-8sinx -1)一定小于0,
所以cosx >0,
因此cosx= (-1+√33)/8时,f(x)的值最大