已知,如图 在△ABC中 ∠C=90° 点D,P分别在AC,AB上,且BD=AD PE⊥BD,PF⊥AD 垂足分别为点E,F 当∠A=30°时 求证:PE+PF=BC
来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/23 18:01:09
已知,如图 在△ABC中 ∠C=90° 点D,P分别在AC,AB上,且BD=AD PE⊥BD,PF⊥AD 垂足分别为点E,F 当∠A=30°时 求证:PE+PF=BC
已知,如图 在△ABC中 ∠C=90° 点D,P分别在AC,AB上,且BD=AD PE⊥BD,PF⊥AD 垂足分别为点E,F 当∠A=30°时 求证:PE+PF=BC
已知,如图 在△ABC中 ∠C=90° 点D,P分别在AC,AB上,且BD=AD PE⊥BD,PF⊥AD 垂足分别为点E,F 当∠A=30°时 求证:PE+PF=BC
证明:
∵DB=DA
∴∠DBA=∠A=30°(等边对等角)
∵PF⊥AC
∴PF=1/2AP(30°角所对边等于斜边一半)
同理PE=1/2PB
∴PE+PF=1/2(PA+PB)=1/2AB(等量代换)
在Rt△ABC中,∠A=30°
BC=1/2AB(30°角所对边等于斜边一半)
∴PE+PF=BC(等量代换)
PF垂直于AC,∠C=90度,所以PF平行于BC。
∠A=30度,由BD=AD 得∠DBA=30度
设BP=x,AP=y;
BC=AB/2=(x+y)/2; (勾股定理)
由PF⊥AD 得PF=AP/2=y/2; (勾股定理)
同理由PE⊥BD 得PE=BP/2=x/2; (勾股定理)
所以PE+PF=(x+y)/2=BC
我记得有个公式 是 如果一个三角形里 一个直角 还有一个60°的角的话 那么60°这个边的1/2的平方就等于 直角相对的这个边
现在就是 1/2CB²=AB² 因为PF⊥AC 且∠A=30° 所以 1/2PF²=PA² 又因为PF⊥BD 只需要证明BD平分∠CBA 就可以证明 1/2PE²=PB²
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我记得有个公式 是 如果一个三角形里 一个直角 还有一个60°的角的话 那么60°这个边的1/2的平方就等于 直角相对的这个边
现在就是 1/2CB²=AB² 因为PF⊥AC 且∠A=30° 所以 1/2PF²=PA² 又因为PF⊥BD 只需要证明BD平分∠CBA 就可以证明 1/2PE²=PB²
那么1/2PE²+1/2PF²=PA²+PB²(PA+PB=PC)
所以 PE+PF=BC
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