求第44届IMO第6题解答过程（详细）
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/26 03:05:45
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6.设p 为质数.证明:存在质数q ,使得对任意
整数n ,数n^p - p 都不能被q 整除.
由于(p^p - 1)/(p-1)
= 1 + p + p2 + .+ p^(p - 1) ≡p + 1(mod p^2 ) ,
则(p^p - 1)/(p - 1) 中至少有一个质因子q ,满足
q 不等于 1 (mod p^2) .
下面证明q 为所求.
假设存在整数n ,使得np ≡p (mod q) .则由q
的选取,有
n^(p^2)≡p^p ≡1 (mod q) .
另一方面,由Fermat 小定理,n^(q - 1) ≡1 (mod q)
(由于q 为质数且( n ,q) = 1) .
由于p2 不能整除( q - 1) ,有( p2 ,q - 1) | p ,则
n^p ≡1 (mod q) .
因此,p ≡1 (mod q) .
从而,导出1 + p + ...+ pp - 1 ≡p(mod q) .
由q 的选取,有p ≡0 (mod q) .矛盾.