已知二次函数f（x）=ax²+bx+c的系数都是整数,且f（19）=f（99）=1999,｜c｜＜1000,求c的值

已知二次函数f（x）=ax²+bx+c的系数都是整数,且f（19）=f（99）=1999,｜c｜＜1000,求c的值
已知二次函数f（x）=ax²+bx+c的系数都是整数,且f（19）=f（99）=1999,｜c｜＜1000,求c的值

已知二次函数f（x）=ax²+bx+c的系数都是整数,且f（19）=f（99）=1999,｜c｜＜1000,求c的值
f（19）－1999=0,f（99）－1999=0；
可知19和1999是方程f(x)-1999=ax²+bx+c-1999＝0的两个实数根.
从而有19*1999=(c-1999)/a,
故c=1881a+1999；
又根据｜c｜＜1000,-1000＜c＜1000,
可以得到999＜1881a＜2999；
a是整数,所以a=1,从而得到c=3880.

f(19)=f(99) 得：a*19*19+b*19+c=a*99*99+b*99+c b=-118a 代入
f(99)=a*99*99-99*118a+c=1999 -1881a+c=1999 c=1999+1881a
如a>=0 则c=1999+1881a>=1999 不合题意
a,b,c为整数，a=-1时 c=118 a>=-2 |c|=1881*|a|-1999>=1881*2-1999=1763
综上 a=-1 c=118