虹口区2009初三数学24.(本题满分12分,第(1)小题满分6分,第(2)小题满分3分,第(3)小题满分3分)如图9,在平面直角坐标系中,矩形OABC的顶点A(3,0),C(0,1).将矩形OABC绕原点逆时针旋转

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虹口区2009初三数学24.(本题满分12分,第(1)小题满分6分,第(2)小题满分3分,第(3)小题满分3分)如图9,在平面直角坐标系中,矩形OABC的顶点A(3,0),C(0,1).将矩形OABC

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虹口区2009初三数学
24.(本题满分12分,第(1)小题满分6分,第(2)小题满分3分,第(3)小题满分3分)
如图9,在平面直角坐标系中,矩形OABC的顶点A(3,0),C(0,1).将矩形OABC绕原点逆时针旋转90°,得到矩形 .设直线 与 轴交于点M、与 轴交于点N,抛物线 的图像经过点 、M、N.解答下列问题:
(1)求出该抛物线所表示的函数解析式;
(2)将△MON沿直线 翻折,点 落在点P处,请你判断点P是否在该抛物线上,并请说明理由;
(3)将该抛物线进行一次平移(沿上下或左右方向),使它恰好经过原点O,求出所有符合要求的新抛物线的解析式.

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1.
  因为矩形OABC
  所以由A,C坐标知B坐标为(3,1)
  又因为BC=C'B' 故B'坐标为(-1,3)
  把B,B'坐标代入y=kx+b 得:
  1=3k+b
  3=-k+b
  联立解得 k=-1/2 b=5/2
  故直线解析式为y=-1/2x+5/2
  把x=0代入直线解析式得y=5/2 故N坐标为(0,5/2)
  把y=0代入直线解析式得x=5 故M坐标为(5,0)
  又C'坐标为(-1,0)
  C',M,N三点坐标分别代入交点式y=a(x-x1)(x-x2)得:
  5/2=a(0+1)(0-5) 得a=-1/2
  再次代入化简得抛物线解析式为:y=-1/2x²+2x+5/2
  2.
  设翻折后的三角形为△NO'P
  连接OP 交NM于K
  由两三角形全等知 OK,PK分别是两三角形的高
  又由勾股定理得NM=(5√5)/2
  根据“三角形斜边上的高等于两直角边成绩再除以斜边”
  得OK=O'K= √5 所以OP=2√5
  过P作PQ垂直x轴于Q
  轻易证得△PQO∽△NMO
  所以 OQ/ON=OP/NM 代入得:
  OQ/(5/2)=2√5 / (5√5)/2
  解得OQ=2 故P的横坐标为2
  又PQ/OM =OQ/ON 代入得:
  PQ/5=2/(5/2)
  解得PQ=4 所以P的纵坐标为4
  所以P点的坐标为(2,4)
  把x=2,代入抛物线解析式y=-1/2x²+2x+5/2
  得 -1/2×4+4+5/2 =4.5≠4
  所以P点不在抛物线上.
  3.
  因为抛物线解析式为:y=-1/2x²+2x+5/2 把它配方:
  y=-1/2x²+2x+5/2
  y=-1/2(x²-4x-5)
  y=-1/2(x²-4x+4-4-5)
  y=-1/2[(x-2)²-9)
  y=-1/2(x-2)²+9/2
  所以要一次平移后交于原点 情况有三种
  ①:要另N点移动到原点,即当抛物线x=0时,y也等于0
  在y=-1/2(x-2)²+9/2中x=0时 -1/2(x-2)²是-2 ,所以要另9/2变成2,
  所以此时抛物线解析式为:
  y=-1/2(x-2)²+2
  ②:要C'和原点相交,所以要抛物线向右平移一个单位
  即:y=-1/2(x-2-1)²+9/2
  所以此时的解析式为 :y=-1/2(x-3)²+9/2
  ③ 要M和原点相交,所以要抛物线向左平移5个单位,
  即y=-1/2(x-2+5)²+9/2
  所以此时解析式为:y=-1/2(x+3)²+9/2

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