欲将正六边形的各边和各条对角线都染为n 种颜色之一,使得以正六边形的任何3个顶点作为顶点的三角形有3种不同颜色的边,并且不同的三角形使用不同的3色组合,则n 的最小值为( )(A)6
来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/28 10:33:48
欲将正六边形的各边和各条对角线都染为n 种颜色之一,使得以正六边形的任何3个顶点作为顶点的三角形有3种不同颜色的边,并且不同的三角形使用不同的3色组合,则n 的最小值为( )(A)6
欲将正六边形的各边和各条对角线都染为n 种颜色之一,使得以正六边形的任何3个顶点作为顶点的三角形有3种不同颜色的边,并且不同的三角形使用不同的3色组合,则n 的最小值为( )
(A)6 (B)7 (C)8 (D)9
欲将正六边形的各边和各条对角线都染为n 种颜色之一,使得以正六边形的任何3个顶点作为顶点的三角形有3种不同颜色的边,并且不同的三角形使用不同的3色组合,则n 的最小值为( )(A)6
从六个顶点选出3个顶点组成三角形,共有C(6,3)=20(种),这也是所有的三角形种数.
由于每个三角形使用不同的3色组合,那么这样的组合最多有C(n,3)种
三角形数不能超过组合种数,于是有20≤C(n,3)
得n≥6.
当然,n=6是不能构造出来的,因为假设有两个顶点连的一边染色红,那么剩下染红色的边必定在剩下的4个顶点中(否则与“任何3个顶点作为顶点的三角形有3种不同颜色的边”矛盾)
这样下去得出一种颜色最多存在3边,由于共C(6,2)=15条边
而15÷6=2……3,必有3种颜色每种各染了三条边,设为1,2,3三色
不妨AB,CD,EF染1
BC,DE,AF染2
则剩下4种色怎么染都有三角形使用相同的3色组合
所以n≥7,构造如图,请检验下
要我如何解释= =画图给你看?
设正六边形顶点分别为ABCDEF(顺时针,逆时针随你)
AB 边为颜色1
AF边 BC边为颜色6
FE边DC边为颜色5
ED边颜色4
AD对角线颜色2
FC对角线颜色4
BE对角线颜色3
思考过程,第一个三角形根据轮换对称性质,随意选,颜色设为123(2和3为对角线)
对面三角形的外边...
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要我如何解释= =画图给你看?
设正六边形顶点分别为ABCDEF(顺时针,逆时针随你)
AB 边为颜色1
AF边 BC边为颜色6
FE边DC边为颜色5
ED边颜色4
AD对角线颜色2
FC对角线颜色4
BE对角线颜色3
思考过程,第一个三角形根据轮换对称性质,随意选,颜色设为123(2和3为对角线)
对面三角形的外边颜色必须不为123,故设为4
以上未牵涉到的只有一条对角线,此线不能为2或3,故设为4(你要设为1我也没意见,但是不设为1或4中的一个就不是最优方案了)
于是,顺理成章的补上5和6,就可以收工了
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