已知二次函数f(x)=ax^2+bx满足f(1+x)=f(1-x)且方程f(x)=x有两个相等实数,求f（x）的解析式若x属于「-2,2」 求值域
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/17 03:50:14
已知二次函数f(x)=ax^2+bx满足f(1+x)=f(1-x)且方程f(x)=x有两个相等实数,求f（x）的解析式若x属于「-2,2」 求值域
已知二次函数f(x)=ax^2+bx满足f(1+x)=f(1-x)且方程f(x)=x有两个相等实数,
求f（x）的解析式
若x属于「-2,2」 求值域
已知二次函数f(x)=ax^2+bx满足f(1+x)=f(1-x)且方程f(x)=x有两个相等实数,求f（x）的解析式若x属于「-2,2」 求值域
第一个问题：
∵f（x）＝ax^2＋bx,
∴f（1＋x）＝a（1＋x）^2＋b（1＋x）、f（1－x）＝a（1－x）^2＋b（1－x）.
依题意,有：f（1＋x）＝f（1－x）,∴a（1＋x）^2＋b（1＋x）＝a（1－x）^2＋b（1－x）,
∴a［（1＋x）^2－（1－x）^2］＝b［（1－x）－（1＋x）］,
∴a［（1＋x）＋（1－x）］［（1＋x）－（1－x）］＝b［（1－x）－（1＋x）］,
∴2a×2x＝－2bx,∴2a＝－b,∴a＝－（1/2）b.
∵f（x）＝x的两根相等,∴ax^2＋bx＝x的两根相等,∴ax^2＋（b－1）x＝0的两根相等,
∴（b－1）^2－4a×0＝0,∴b＝1.
∴a＝－（1/2）b＝－1/2.
∴满足条件的函数解析式是：f（x）＝－（1/2）x^2＋x.
第二个问题：
对f（x）＝－（1/2）x^2＋x求导数,得：f′（x）＝－x＋1.
令f′（x）＞0,得：－x＋1＞0,∴此时x＜1.
令f′（x）＜0,得：－x＋1＜0,∴此时x＞1.
∴函数f（x）在［－2,1）上单调递增,在（1,2］上单调递减.
又f（－2）＝－（1/2）×4－2＝－4、
f（1）＝－（1/2）×1＋1＝1/2、
f（2）＝－（1/2）×4＋2＝0.
∴f（x）在区间［－2,2］的值域是［－4,1/2］.
因为f(x1+x)=f(1-x) 所以 f(x)关于x=[(1+x)+(1+x)]/2=1 对称
所以b/-2a=1 b=-2a 又因为 f(x)=x有两等根
。。。。。待续