长方形,正方形和圆,若它们三个的周长都相等,那么面积最大的是?
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/31 11:41:00
长方形,正方形和圆,若它们三个的周长都相等,那么面积最大的是?
长方形,正方形和圆,若它们三个的周长都相等,那么面积最大的是?
长方形,正方形和圆,若它们三个的周长都相等,那么面积最大的是?
圆面积最大
1.周长为L(常数)的矩形中正方形面积最大.
证明:设矩形长为x,则宽为(L-2x)/2=(L/2-x)
面积y=x*(L/2-x)=-x^2+Lx/2,这个二次函数
在x=L/4时有最大值
∴矩形长L/4,宽为(L-2x)/2=(L/2-x)=L/4,
∴矩形中正方形面积最大
2.奇妙的证明：周长相等的所有平面图形中,圆的面积最大.
我首先要证明,面积最大的图形满足一个性质：一条平分周长的直线（暂且把它叫做周长平分线）,一定也平分面积.因为,如果不平分面积的话,那么我总可以把面积较大的那块翻到另一边去,使得周长不变,而面积增大（如左图,红色曲线围成的面积大于蓝色曲线）.好了,接下来,我要再证明面积最大的图形满足第二条性质：周长平分线与曲线的两个交点和曲线上任意一点构成的三角形,必然是直角三角形.因为,如果它不是直角三角形,我可以把他拉伸或压缩一下,使它成为直角三角形,这样新三角形的面积大于原三角形的面积（证明省略,主要使用S=absinθ/2）,而图形其他部分面积不变,这样面积就扩大了.因此,面积最大的图形满足上述两条性质,我们就不难推出它是圆了.
设周长为a
圆:2スr=a
→r=a/2ス
S=スr*r
=a*a/4ス
正方形:边长为a/4
S=a*a/16
长方形:设长为X 宽为Y
S=XY
2(X+Y)=a
X+Y=a/2大于等于2根号XY
两边同...
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设周长为a
圆:2スr=a
→r=a/2ス
S=スr*r
=a*a/4ス
正方形:边长为a/4
S=a*a/16
长方形:设长为X 宽为Y
S=XY
2(X+Y)=a
X+Y=a/2大于等于2根号XY
两边同时除以2
再同时平方
→XY小于等于a*a/16
∵ス小于4
∴4ス小于16
所以a*a/4ス大于a*a/16
a*a/16 大于XY
所以圆大于正方形大于长方形
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