如图,点P是正方形ABCD内一点,连接PA,PB,PD,AP=1,PB=根号5,∠APD=135.过A作PA的垂线交DP的延长线于点E,连接BE,求正方形ABCD的面积

如图,点P是正方形ABCD内一点,连接PA,PB,PD,AP=1,PB=根号5,∠APD=135.过A作PA的垂线交DP的延长线于点E,连接BE,求正方形ABCD的面积
如图,点P是正方形ABCD内一点,连接PA,PB,PD,AP=1,PB=根号5,∠APD=135.过A作PA的垂线交DP的延长线于点E,连接BE,求正方形ABCD的面积

如图,点P是正方形ABCD内一点,连接PA,PB,PD,AP=1,PB=根号5,∠APD=135.过A作PA的垂线交DP的延长线于点E,连接BE,求正方形ABCD的面积
∵∠APD=135 ∴∠APE=45º 又∵AE⊥AP 即∠EAP=90º ∴⊿AEP是等腰直角三角形
∴AE=AP=1,PE=√2 ∠AEP=45º
∵∠EAP=∠BAD=90º ∴∠EAB=∠PAD 又∵正方形ABCD中,AB=AD
∴⊿EAB≌⊿PAD﹙SAS﹚ ∴∠AEB=∠APD=135º ∴∠PEB=135º－∠AEP=90º
∴在RT⊿PEB中PE=√2,PB=√5 ∴EB=√3
∵⊿EAB≌⊿PAD ∴PD=EB=√3
∴在Rt⊿DEB中 ED=PE＋PD=√2＋√3,而EB=√3 ∴BD²=BE²＋ED²=3＋﹙√2＋√3﹚²
∴BD²=8＋2√6
∵S正方形ABCD=½BD²=4＋√6

4－√6

2