当a+b+c=0,a^2+b^2+c^2=1时,则a^4+b^4+c^4=?
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/17 11:38:22
当a+b+c=0,a^2+b^2+c^2=1时,则a^4+b^4+c^4=?
当a+b+c=0,a^2+b^2+c^2=1时,则a^4+b^4+c^4=?
当a+b+c=0,a^2+b^2+c^2=1时,则a^4+b^4+c^4=?
由题设可知：
【1】
1=（a ²+b ²+c ²）²
=a^4+b^4+c^4+2(a ²b ²+b ²c ²+c ²a ²).
∴a^4+b^4+c^4=1-2(a ²b ²+b ²c ²+c ²a ²).(①式)
【2】
a+b+c=0.
∴c ²=(a+b) ²=a ²+2ab+b ²=(a ²+b ²)+2ab
=(1-c ²)+2ab.
∴ab=c ²-(1/2).
又a ²+b ²=1-c ².
∴a ²b ²+a ²c ²+b ²c ²
=(ab) ²+(a ²+b ²)c ²
=[c ²-(1/2)] ²+(1-c ²)c ²
=c^4-c ²+(1/4)+c ²-c^4.
=1/4.
∴a ²b ²+b ²c ²+c ²a ²=1/4.
把这一结果代入①式,可得：
A^4+b^4+c^4=1/2.
a+b=-c 代入已知式得 a^2+b^2=0.5-ab
等式两边同时开平方得a^4+b^4=0.25-a^2*b^2-ab
将-c=a+b 代入c^4
得c^4=0.25+a^2*b^2+ab
a^4+b^4+c^4=0.5
1. 由已知a+b+c=0→(a+b+c)^2=0→ab+bc+ca=-1/2
2. 由已知a^2+b^2+c^2=1→(a^2+b^2+c^2)^2=1→a^4+b^4+c^4+2*(ab)^2+2*(bc)^2+2*(ca)^2=1
3. 由1可知,(ab+bc+ca)^2=1/4,即(ab)^2+(bc)^2+(ca)^2+2abc*(a+b+c)=0,又a+b+c=0,故(ab)^2+(bc)^2+(ca)^2=1/4
4. 代入2可得a^4+b^4+c^4=1/2
(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)=0
ab+bc+ca=-0.5
(ab+bc+ca)^2=(ab)^2+(bc)^2+(ca)^2+2abc(a+b+c)=0.25
(ab)^2+(bc)^2+(ca)^2=0.25
(a^2+b^2+c^2)^2=1
a^4+b^4+c^4+2((ab)^2+(bc)^2+(ca)^2)=1
a^4+b^4+c^4=0.5
由a+b+c=0可知ab=c ²-(1/2).
由a^2+b^2+c^2=1
a^4+b^4+c^4=1-2(a ²b ²+b ²c ²+c ²a ²).
又a ²+b ²=1-c ².
a ²b ²+a ²c ²+b ...
全部展开
由a+b+c=0可知ab=c ²-(1/2).
由a^2+b^2+c^2=1
a^4+b^4+c^4=1-2(a ²b ²+b ²c ²+c ²a ²).
又a ²+b ²=1-c ².
a ²b ²+a ²c ²+b ²c ²
=(ab) ²+(a ²+b ²)c ²
=[c ²-(1/2)] ²+(1-c ²)c ²
=c^4-c ²+(1/4)+c ²-c^4.
=1/4.
则a^4+b^4+c^4 =1/2
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