已知f(x)是定义在[-1,1]上的函数,且f(1)=1,f(x)=-f(-x),若m、n∈[-1,1],m+n≠0,f(m)+f(n)/m+n>0.(1)用定义证明f(x)在[-1,1]上是增函数；(2)若f(x)≤t^2-2at+1对所有x∈[-1,1],a∈[-1,1]恒成立,求实数t的范围.
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/24 07:04:01
已知f(x)是定义在[-1,1]上的函数,且f(1)=1,f(x)=-f(-x),若m、n∈[-1,1],m+n≠0,f(m)+f(n)/m+n>0.(1)用定义证明f(x)在[-1,1]上是增函数；(2)若f(x)≤t^2-2at+1对所有x∈[-1,1],a∈[-1,1]恒成立,求实数t的范围.
已知f(x)是定义在[-1,1]上的函数,且f(1)=1,f(x)=-f(-x),若m、n∈[-1,1],m+n≠0,f(m)+f(n)/m+n>0.
(1)用定义证明f(x)在[-1,1]上是增函数；
(2)若f(x)≤t^2-2at+1对所有x∈[-1,1],a∈[-1,1]恒成立,求实数t的范围.
已知f(x)是定义在[-1,1]上的函数,且f(1)=1,f(x)=-f(-x),若m、n∈[-1,1],m+n≠0,f(m)+f(n)/m+n>0.(1)用定义证明f(x)在[-1,1]上是增函数；(2)若f(x)≤t^2-2at+1对所有x∈[-1,1],a∈[-1,1]恒成立,求实数t的范围.
(1)用定义证明f(x)在[-1,1]上是增函数；
设0≤x10,
[f(x2)-f(x1)]/[x2-x1]>0,
因为x2-x1>0,所以f(x2)-f(x1)>0.
f(x)在[0,1]上是增函数.
f(x)=-f(-x),f(x)是奇函数,所以f(x)在[-1,1]上是增函数.
(2)若f(x)≤t^2-2at+1对所有x∈[-1,1],a∈[-1,1]恒成立,求实数t的范围.
f(x)≤t^2-2at+1对所有x∈[-1,1],a∈[-1,1]恒成立,所以
1=f(1)≤t^2-2at+1对所有a∈[-1,1]恒成立,反之亦然,
特别是对a=-1和a=1成立,即t^2+2t≥0且t^2-2t≥0,t≤-2或t≥2.
反之,若t≤-2或t≥2,则t^2+2t≥0且t^2-2t≥0,
对任何a,-1≤a≤1,注意1+a≥0,1-a≥0,所以有
t^2-2at=(t^2+2t)(1-a)/2+(t^2-2t)(1+a)/2≥0.
总之,实数t的范围是t≤-2或t≥2.