高一 数学 数学 请详细解答,谢谢! (13 21:39:6)已知X,Y,Z∈R,且X+Y+Z=1,求证X2+Y2+Z2≥1/3

来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/16 19:56:59
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已知X,Y,Z∈R,且X+Y+Z=1,求证X2+Y2+Z2≥1/3

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(X+Y+Z)的平方=1平方,x方+y方+z方+2xy+2yz+2xz=1
x方+y方≥2xy,当且仅当x=y时等号成立
y方+z方≥2yz,当且仅当y=z时等号成立
x方+z方≥2xz,当且仅当x=z时等号成立
3个不等式相加 得2x方+2y方+2z方≥2xy+2yz+2xz,当且仅当x=y=z时等号成立
两边加(x方+y方+z方) 得3x方+3y方+3z方≥2xy+2yz+2xz+x方+y方+z方=(x+y+z)方=1
3(x方+y方+z方)≥1
x方+y方+z方≥1/3,当且仅当x=y=z=1/3时等号成立.

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