求重要初中数学竞赛几何定理.越多越好.要证明过程.有涉及高中知识也行,不要太基础,反正初中课本上没有就行.注意：1.竞赛用2.课本上没有

求重要初中数学竞赛几何定理.越多越好.要证明过程.有涉及高中知识也行,不要太基础,反正初中课本上没有就行.注意：1.竞赛用2.课本上没有
求重要初中数学竞赛几何定理.越多越好.要证明过程.
有涉及高中知识也行,不要太基础,反正初中课本上没有就行.
注意：1.竞赛用
2.课本上没有

求重要初中数学竞赛几何定理.越多越好.要证明过程.有涉及高中知识也行,不要太基础,反正初中课本上没有就行.注意：1.竞赛用2.课本上没有
都是想到什么写什么.证起来很费时间,我就直接去百科查了,请见谅.其实还有很多小技巧,就是某些定理的推广,我懒得写了,sorry

因为很多，要找出具体的！
我上过竞赛辅导
把记得的都列出来了
正弦定理
余弦定理
圆内接四边形，对角互补
……要想的话，一下子很难想到全的
毕竟是人脑！！
不好意思！

正弦定理、余弦定理、圆内接四边形对角互补、圆外接四边形对边之和相等......（反正很多，记不得了，因为我是人，不是电脑）

2006年全国初中数学竞赛试题参考答案
一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分. 以下每道小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里. 不填、多填或错填得零分）
1．在高速公路上，从3千米处开始，每隔4千米经过一个限速标志牌；并且从10千米处开始，每隔9千米经过一个速度监控仪．刚好在19千米处第一次同时经...

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2006年全国初中数学竞赛试题参考答案
一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分. 以下每道小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里. 不填、多填或错填得零分）
1．在高速公路上，从3千米处开始，每隔4千米经过一个限速标志牌；并且从10千米处开始，每隔9千米经过一个速度监控仪．刚好在19千米处第一次同时经过这两种设施，那么第二次同时经过这两种设施的千米数是（ ）.
（A）36 （B）37 （C）55 （D）90
答：C．
因为4和9的最小公倍数为36，19＋36＝55，所以第二次同时经过这两种设施是在55千米处.
故选C．
2．已知 ， ，且 ，则 的值等于（ ）
（A）－5 （B）5 （C）－9 （D）9
答：C．
由已知可得 ， ．又
，
所以 ，
解得 ．
故选C．
3．Rt△ABC的三个顶点 ， ， 均在抛物线 上，并且斜边AB平行于x轴．若斜边上的高为 ，则（ ）
（A） （B） （C） （D）
答：B．
设点A的坐标为 ，点C的坐标为 （ ），则点B的坐标为 ，由勾股定理，得
，
，
，
所以 ．
由于 ，所以 ，故斜边AB上高 ．
故选B．
4．一个正方形纸片，用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分；拿出其中一部分，再沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分；又从得到的三部分中拿出其中之一，还是沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分……如此下去，最后得到了34个六十二边形和一些多边形纸片，则至少要剪的刀数是（ ）
（A）2004 （B）2005 （C）2006 （D）2007
答：B．
根据题意，用剪刀沿不过顶点的直线剪成两部分时，每剪开一次，使得各部分的内角和增加360°．于是，剪过 次后，可得（ ＋1）个多边形，这些多边形的内角和为（ ＋1）×360°．
因为这（ ＋1）个多边形中有34个六十二边形，它们的内角和为
34×（62－2）×180°=34×60×180°，
其余多边形有（ ＋1）－34＝ －33（个），而这些多边形的内角和不少于（ －33）×180°．所以
（ ＋1）×360°≥34×60×180°＋（ －33）×180°，
解得 ≥2005．
当我们按如下的方式剪2005刀时，可以得到符合条件的结论．先从正方形上剪下1个三角形，得到1个三角形和1个五边形；再在五边形上剪下1个三角形，得到2个三角形和1个六边形……如此下去，剪了58刀后，得到58个三角形和1个六十二边形．再取出33个三角形，在每个三角形上剪一刀，又可得到33个三角形和33个四边形，对这33个四边形，按上述正方形的剪法，再各剪58刀，便得到33个六十二边形和33×58个三角形．于是共剪了
58＋33＋33×58＝2005（刀）．
故选B．
5．如图，正方形 内接于⊙ ，点 在劣弧 上，连结 ， 交 于点 ．若 ，则 的值为（ ）
（A） （B）
（C） （D）
答：D．
如图，设⊙ 的半径为 ， ，则 ， ， ．
在⊙ 中，根据相交弦定理，得 ．
即 ，
所以 ．
连结DO，由勾股定理，得
，
即 ，
解得 ．
所以， ．
故选D．
二、填空题（共5小题，每小题6分，满分30分）
6．已知 ， ， 为整数，且 ＋ ＝2006， ＝2005．若 ＜ ，则 ＋ ＋ 的最大值为 ．
答：5013．
由 ＋ ＝2006， ＝2005，得
＋ ＋ ＝ ＋4011．
因为 ＋ ＝2006， ＜ ， 为整数，所以， 的最大值为1002．
于是， ＋ ＋ 的最大值为5013．
7．如图，面积为 的正方形DEFG内接于面积为1的正三角形ABC，其中a，b，c是整数，且b不能被任何质数的平方整除，则 的值等于 .
答： ．
设正方形DEFG的边长为x，正三角形ABC的边长为m，则 ．由△ADG ∽ △ABC，可得
作者： 221.13.21.* 2006-5-3 12:29 回复此发言
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2 2006全国初中数学竞赛试题及答案（全）
，
解得 ．于是
，
由题意，a＝28，b＝3,c＝48，所以 .
8．正五边形广场ABCDE的周长为2000米．甲、乙两人分别从A，C两点同时出发，沿A→B→C→D→E→A→…方向绕广场行走，甲的速度为50米∕分，乙的速度为46米∕分. 那么，出发后经过 分钟，甲、乙两人第一次开始行走在同一条边上．
答：104．
设甲走完x条边时，甲、乙两人第一次开始行走在同一条边上，此时甲走了400x米，乙走了 米．于是
，
且 ≤ ，
所以， ≤ ＜ ．
故x=13，此时 ．
9．已知 ，且满足
（ 表示不超过x的最大整数），则 的值等于 ．
答：6．
因为 ，所以 ， ，…， 等于0或者1．由题设知，其中有18个等于1，所以
＝ ＝…＝ ＝0，
＝ ＝…＝ ＝1，
所以 ，
≤ ＜ ．
故 ≤ ＜ ，于是 ≤ ＜ ，所以 6．
10．小明家电话号码原为六位数，第一次升位是在首位号码和第二位号码之间加上数字8，成为一个七位数的电话号码；第二次升位是在首位号码前加上数字2，成为一个八位数的电话号码．小明发现，他家两次升位后的电话号码的八位数，恰是原来电话号码的六位数的81倍，则小明家原来的电话号码是 ．
答：282500．
设原来电话号码的六位数为 ，则经过两次升位后电话号码的八位数为 ．
根据题意，有81× ＝ ．
记 ，于是
，
解得 ．
因为 ≤ ≤ ，所以
≤ ＜ ，
故 ＜ ≤ ．
因为 为整数，所以 ＝2．于是
．
所以，小明家原来的电话号码为282500．
三、解答题（共4题，每小题15分，满分60分）
11（A）．已知 ， , 为互质的正整数，且 ≤ ， ．
（1）试写出一个满足条件的x；
（2）求所有满足条件的 ．
（1） 满足条件． ……………………5分
（2）因为 ， , 为互质的正整数，且 ≤ ，所以
，
即
．
当a＝1时， ，这样的正整数b不存在．
当a＝2时， ，故b＝1，此时 ．
当a＝3时， ，故b＝2，此时 ．
当a＝4时， ，与 互质的正整数b不存在．
当a＝5时， ，故b＝3，此时 ．
当a＝6时， ，与 互质的正整数b不存在．
当a＝7时， ，故b＝3，4，5，此时 ， ， ．
当a＝8时， ，故b＝5，此时 ．
所以，满足条件的所有分数为 ， ， ， ， ， ， ．
…………………15分
12（A）．设 ， ， 为互不相等的实数，且满足关系式
①
及 ， ②
求 的取值范围．
解法1：由①－2×②得
，
所以 ．
当 时，
．
…………………10分
又当 ＝ 时，由①，②得
， ③
， ④
将④两边平方，结合③得
，
化简得
，
故 ，
解得 ，或 ．
所以， 的取值范围为 且 ， ．
……………15分
解法2：因为 ， ，所以
＝ ＝ ，
所以 ．
又 ，所以 ， 为一元二次方程
⑤
的两个不相等实数根，故
，
所以 ．
当 时，
．
…………………10分
另外，当 ＝ 时，由⑤式有
，
即
，或 ，
解得 ，或 ．
所以， 的取值范围为 且 ， ．
…………………15分
13（A）．如图，点P为⊙O外一点，过点P作⊙O的两条切线，切点分别为A，B．过点A作PB的平行线，交⊙O于点C．连结PC，交⊙O于点E；连结AE，并延长AE交PB于点K． 求证： ．
证明：因为AC‖PB，所以 ．又PA是⊙O的切线，所以 ．故 ，于是
△KPE∽△KAP，
所以 ，
作者： 221.13.21.* 2006-5-3 12:29 回复此发言
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3 2006全国初中数学竞赛试题及答案（全）
即 ．
………………5分
由切割线定理得
，
所以， KP＝KB．
…………………10分
因为AC‖PB，所以，△KPE∽△ACE，于是
，
故 ，
即 ．
…………………15分
14（A）．2006个都不等于119的正整数 排列成一行数，其中任意连续若干项之和都不等于119，求 的最小值．
首先证明命题：对于任意119个正整数 ，其中一定存在若干个（至少一个，也可以是全部）的和是119的倍数．
事实上，考虑如下119个正整数
， ，…， ， ①
若①中有一个是119的倍数，则结论成立．
若①中没有一个是119的倍数，则它们除以119所得的余数只能为1，2，…，118这118种情况．所以，其中一定有两个除以119的余数相同，不妨设为 和 （ ≤ ＜ ≤ ），于是
，
从而此命题得证．
…………………5分
对于 中的任意119个数，由上述结论可知，其中一定有若干个数的和是119的倍数，又由题设知，它不等于119，所以，它大于或等于2×119，又因为 ，所以
≥ ． ②
…………………10分
取 ，其余的数都为1时，②式等号成立．
所以， 的最小值为3910．
…………………15分
11（B）．已知△ 中， 是锐角．从顶点 向 边或其延长线作垂线，垂足为 ；从顶点 向 边或其延长线作垂线，垂足为 ．当 和 均为正整数时，△ 是什么三角形？并证明你的结论．
设 ， 均为正整数，则
，
所以，mn＝1，2，3．
…………………5分
（1）当mn＝1时， ， ，此时 ．所以 垂直平分 ， 垂直平分 ，于是△ 是等边三角形．
（2）当mn＝2时， ， ，此时 ，或 ，所以点 与点 重合，或点 与点 重合．故 ，或 ，于是△ 是等腰直角三角形．
（3）mn＝3时， ， ，此时 ，或 ．于是 垂直平分 ，或 垂直平分 ．故 ，或 ，于是△ 是顶角为 的等腰三角形．
…………………15分
12（B）．证明：存在无穷多对正整数 ，满足方程
．
证法1：原方程可以写为
，
于是
是完全平方数．
…………………5分
设 ，其中k是任意一个正整数，则 ．
…………………10分
于是
，或 ．
所以，存在无穷多对正整数 （其中k是正整数）满足题设方程．
…………………15分
证法2：原方程可写为
，
所以可设
（x是正整数）， ①
取 ． ②
…………………5分
① －②得
．
令 （y是任意正整数），则 ．
…………………10分
于是
．
所以，存在无穷多对正整数 （其中y是任意正整数）满足题设方程．
…………………15分
13（B）．如图，已知锐角△ABC及其外接圆⊙O，AM是BC边的中线．分别过点B，C作⊙O的切线，两条切线相交于点X，连结AX．求证： ．
证明：设AX与⊙O相交于点 ，连结OB，OC， ．又M为BC的中点，所以，连结OX，它过点M．
因为 ，所以
． ①
又由切割线定理得
． ②
…………………5分
由①，②得
，
于是
△XMA∽△ ，
所以
．
…………………10分
又 ，所以 ，于是
．
…………………15分
14（B）．10个学生参加n个课外小组，每一个小组至多5个人，每两个学生至少参加某一个小组，任意两个课外小组，至少可以找到两个学生，他们都不在这两个课外小组中．证明：n的最小值为6．
证明：设10个学生为 ，n个课外小组为 ．
首先，每个学生至少参加两个课外小组．否则，若有一个学生只参加一个课外小组，设这个学生为 ，由于每两个学生都至少在某一小组内出现过，所以其它9个学生都与他在同一组出现，于是这一组就有10个人了，矛盾．
…………………5分
若有一学生恰好参加两个课外小组，不妨设 恰好参加 ，由题设，对于这两组，至少有两个学生，他们没有参加这两组，于是他们与 没有同过组，矛盾．
所以，每一个学生至少参加三个课外小组．于是n个课外小组 的人数之和不小于 ＝30．
另一方面，每一课外小组的人数不超过5，所以n个课外小组 的人数不超过5n，故
≥ ，
所以 ≥ ．
…………………10分
下面构造一个例子说明 是可以的．
， ， ，
， ， ．
容易验证，这样的6个课外小组满足题设条件．
所以，n的最小值为6．
…………………15分
第九届华罗庚金杯少年数学邀请赛总决赛初二组一试试题及解答
第九届华罗庚金杯少年数学邀请赛总决赛
初二组一试试题及解答
1．某次数学竞赛前60名获奖。原定一等奖5人，二等奖15人，三等奖40人；现调为一等奖10人，二等奖20人，三等奖30人。调整后一等奖平均分数降低3分，二等奖平均分数降低2分，三等奖平均分数降低1分。如果原来二等奖比三等奖平均分数多7分 ，求调整后一等奖比二等奖平均分数多几分？
解。设调整后一等奖平均分为x，二等奖平均分为y，三等奖平均分为z.则
答。调整后一等奖比二等奖平均分数多5分
2．是正整数。求满足条件所有实数的和。
解。显然， 2003是质数， ，
设由题设，p 是整数。
3．计算
4．凸四边形ABCD中，AB+AC+CD=16,问：对角线AC,BD为何值时，四边形ABCD面积最大？面积最大值是多少？
解。设AB=x, AC=y, 则CD=16-x-y.
答。当时， 四边形ABCD的最大面积为32。
6． ，求n的末三位数。
，所以，n是125的倍数。设n的末三位数为，则
。
所以，n是125的倍数且为奇数，因此，只可能是125，375，625，875中的一个。由乘法结合率
。
由于，，所以，。由此可见，n除以8的余数是3。在125，375，625，875四个数中只有875除以8的余数是3。所以，n的末三位数是875

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各省市中考题最后27+28~~很多

(一) 奇偶运算基本法则
【基础】奇数±奇数=偶数； 偶数±偶数=偶数；
偶数±奇数=奇数； 奇数±偶数=奇数。
【推论】
1.任意两个数的和如果是奇数，那么差也是奇数；如果和是偶数，那么差也是偶数。
2.任意两个数的和或差是奇数，则两数奇偶相反；和或差是偶数，则两数奇偶相同。
(二)整除判定基本法则
1.能被2、4、...

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(一) 奇偶运算基本法则
【基础】奇数±奇数=偶数； 偶数±偶数=偶数；
偶数±奇数=奇数； 奇数±偶数=奇数。
【推论】
1.任意两个数的和如果是奇数，那么差也是奇数；如果和是偶数，那么差也是偶数。
2.任意两个数的和或差是奇数，则两数奇偶相反；和或差是偶数，则两数奇偶相同。
(二)整除判定基本法则
1.能被2、4、8、5、25、125整除的数的数字特性
能被2(或5)整除的数，末一位数字能被2(或5)整除；
能被4(或 25)整除的数，末两位数字能被4(或 25)整除；
能被8(或125)整除的数，末三位数字能被8(或125)整除；
一个数被2(或5)除得的余数，就是其末一位数字被2(或5)除得的余数；
一个数被4(或 25)除得的余数，就是其末两位数字被4(或 25)除得的余数；
一个数被8(或125)除得的余数，就是其末三位数字被8(或125)除得的余数。
2.能被3、9整除的数的数字特性
能被3(或9)整除的数，各位数字和能被3(或9)整除。
一个数被3(或9)除得的余数，就是其各位相加后被3(或9)除得的余数。
3.能被11整除的数的数字特性
能被11整除的数，奇数位的和与偶数位的和之差，能被11整除。
(三)倍数关系核心判定特征
如果a∶b=m∶n(m，n互质)，则a是m的倍数；b是n的倍数。
如果x＝ y(m，n互质)，则x是m的倍数；y是n的倍数。
如果a∶b=m∶n(m，n互质)，则a±b应该是m±n的倍数。

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弦切角定理
切割线定理
割线定理
圆幂定理