在直角梯形ABCD中,AB//DC,E点同时以1cm/秒的速度在线段BC上由B向C匀速运动，设运动时间为T秒（0<T<5)四边形AFEC的面积为Y,求Y与T的函数关系式？并求出Y的最小值？
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2025/01/21 02:51:29
在直角梯形ABCD中,AB//DC,E点同时以1cm/秒的速度在线段BC上由B向C匀速运动，设运动时间为T秒（0<T<5)四边形AFEC的面积为Y,求Y与T的函数关系式？并求出Y的最小值？
在直角梯形ABCD中,AB//DC,
E点同时以1cm/秒的速度在线段BC上由B向C匀速运动，设运动时间为T秒（0<T<5)四边形AFEC的面积为Y,求Y与T的函数关系式？并求出Y的最小值？
在直角梯形ABCD中,AB//DC,E点同时以1cm/秒的速度在线段BC上由B向C匀速运动，设运动时间为T秒（0<T<5)四边形AFEC的面积为Y,求Y与T的函数关系式？并求出Y的最小值？
您提问的原题是：（2010 湖南湘潭）如图,在直角梯形ABCD中,AB‖DC,∠D=90°,AC⊥BC,AB=10cm,BC=6cm,F点以2cm／秒的速度在线段AB上由A向B匀速运动,E点同时以1cm／秒的速度在线段BC上由B向C匀速运动,设运动时间为t秒(0
提示：画个图可以看到，四边形AFEC的面积＝三角形ABC的面积－三角形BFE的面积
三角形ABC的面积可以直接算出，只要将三角形BFE的面积用T表示出来就可以了
首先，S(ABC)=1/2*6*8=24cm^2
对三角形FBE，以BE为底，高记作FH(h)。
三角形ABC相似于三角形FBH，所以AB/FB=AC/h，又FB=10-2T，所以h=8-8/5T
S(FBE)=1/2*BE*h=1/2*T*(8-8/5T)=4T-4/5T^2
最后，S(AFEC)=S(ABC)-S(FBE)=24-4T+4/5T^2=4/...
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首先，S(ABC)=1/2*6*8=24cm^2
对三角形FBE，以BE为底，高记作FH(h)。
三角形ABC相似于三角形FBH，所以AB/FB=AC/h，又FB=10-2T，所以h=8-8/5T
S(FBE)=1/2*BE*h=1/2*T*(8-8/5T)=4T-4/5T^2
最后，S(AFEC)=S(ABC)-S(FBE)=24-4T+4/5T^2=4/5T^2-4T+24
即Y=4/5T^2-4T+24 (A)
抛物线开口向上，最低点横坐标为-b/(2a)=2.5
T=2.5代入（A）式得：Y(min)=19cm^2.
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（1）∵CD∥AB，∴∠BAC=∠DCA
又AC⊥BC，∠ACB=90°，∴∠D=∠ACB=90°，
∴△ACD∽△BAC．
（2）Rt△ABC中，AC=AB2-BC2=8cm，
∵△ACD∽△BAC，∴DCAC=ACAB，
即DC8=810，解得：DC=6.4cm．
（3）过点E作AB的垂线，垂足为G，
∵∠ACB=∠EGB=90°，∠B公...
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（1）∵CD∥AB，∴∠BAC=∠DCA
又AC⊥BC，∠ACB=90°，∴∠D=∠ACB=90°，
∴△ACD∽△BAC．
（2）Rt△ABC中，AC=AB2-BC2=8cm，
∵△ACD∽△BAC，∴DCAC=ACAB，
即DC8=810，解得：DC=6.4cm．
（3）过点E作AB的垂线，垂足为G，
∵∠ACB=∠EGB=90°，∠B公共，
∴△ACB∽△EGB，
∴EGAC=BEAB，即EG8=t10，故EG=45t；
y=S△ABC-S△BEF
=12×6×8-12(10-2t)•45t=45t2-4t+24
=45(t-52)2+19；
故当t=52时，y的最小值为19．
点评：此题考查了梯形的性质、相似三角形的判定和性质、图形面积的求法以及二次函数最值的应用等知识，能够将面积问题转换为二次函数的最值问题是解答（3）题的关键．
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