如图,ABCD是边长为1的正方形,E,F,G,H分别是四条边AB,BC,CD,DA的中点.计算图中阴影八边形的面积.
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/17 11:45:27
如图,ABCD是边长为1的正方形,E,F,G,H分别是四条边AB,BC,CD,DA的中点.计算图中阴影八边形的面积.
如图,ABCD是边长为1的正方形,E,F,G,H分别是四条边AB,BC,CD,DA的中点.计算图中
阴影八边形的面积.
如图,ABCD是边长为1的正方形,E,F,G,H分别是四条边AB,BC,CD,DA的中点.计算图中阴影八边形的面积.
做上每角的连接线,将中间平方八块小三角形
三角形中位线定理,AC = AI/2 => CE = HI/2
因此 △ ACE = 1/4 △AHI = 1/4 x 1/4 x □ ABCD = 1/16
三角形中位线定理,AB = FG / 2 => AB = BC => △ABD面积 = △BDC面积
而中间八块平分,所以 △CDE面积 = △BDC面积 = △ ACE面积 / 3 = 1/16 * 1/3 = 1/48
八块 = 8 x 1/48 = 1/6
不是正八边形,只是等边八边形!
如果是正八边形,而 BC = CD,那△BCD跟D到下方两顶点的大三角形应该是相似三角形,则红边跟下面的黑边就应该等长!
然而如果是正八边形 红边 = 1/4 + sqrt(2)/2 而黑边是 1.
因此正八边形不成立!
上面那个是数正方形？
答案sqrt{2}/8.
根据对称性知阴影为正八边形。其中心到八边形顶点的距离恰为边长的1/4。从中心向8个顶点连线段，得到8个顶角是45度腰长为1/4的等腰三角形，从而每个三角形的面积S可求。最简单的求S方法是用正弦定理
S=1/2*(1/4)^2*sin(pi/4)=sqrt{2}/64.
从而阴影面积是8S=sqrt{2}/8....
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答案sqrt{2}/8.
根据对称性知阴影为正八边形。其中心到八边形顶点的距离恰为边长的1/4。从中心向8个顶点连线段，得到8个顶角是45度腰长为1/4的等腰三角形，从而每个三角形的面积S可求。最简单的求S方法是用正弦定理
S=1/2*(1/4)^2*sin(pi/4)=sqrt{2}/64.
从而阴影面积是8S=sqrt{2}/8.
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