已知矩形ABCD中,DC=根号3,AD=1,在DC上截取DE=1,将三角形ADE沿AE翻折到D1点,点D1在平面ABC上的射影落在AC上时,二面角D1-AE-B的平面角的余弦值是——
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/26 10:29:14
已知矩形ABCD中,DC=根号3,AD=1,在DC上截取DE=1,将三角形ADE沿AE翻折到D1点,点D1在平面ABC上的射影落在AC上时,二面角D1-AE-B的平面角的余弦值是——
已知矩形ABCD中,DC=根号3,AD=1,在DC上截取DE=1,将三角形ADE沿AE翻折到D1点,点D1在平面ABC上的射影落在AC上时,二面角D1-AE-B的平面角的余弦值是——
已知矩形ABCD中,DC=根号3,AD=1,在DC上截取DE=1,将三角形ADE沿AE翻折到D1点,点D1在平面ABC上的射影落在AC上时,二面角D1-AE-B的平面角的余弦值是——
过C作CF⊥AE交AE的延长线于F,令AE的中点为G,令D1在平面ABC上的射影为H.
∵ABCD是矩形,∴∠ADE＝90°,而∠CFE＝90°,∴∠CFE＝∠ADE,又CEF＝∠AED,
∴△CFE∽△ADE,∴FE/DE＝CE/AE.
∵AD＝1、DE＝1、∠ADE＝90°,∴AE＝√2.
∵CD＝√3、DE＝1,∴CE＝√3－1.
∴由FE/DE＝CE/AE,得：FE＝DE×CE/AE＝1×（√3－1）/√2＝（√3－1）/√2.
∵△CFE∽△ADE、AD＝DE,∴CF＝FE＝（√3－1）/√2.
∵D1是由D沿AE折起而得到的,∴AD＝AD1、DE＝D1E,又AD＝DE,∴AD1＝D1E,
而AG＝EG,∴D1G⊥AE.
∵H是D1在平面ABC上的射影,∴GH是GD1在平面ABC上的射影,
∴由三垂线定理的逆定理,得：HG⊥AF.
由HG⊥AF、CF⊥AF,得：HG∥CF,∴△AGH∽△AFC,∴HG/CF＝AG/AF,
∴HG＝CF×AG/AF＝CF×（AE/2）/（AE＋FE）
＝［（√3－1）/√2］×（√2/2）/［√2＋（√3－1）/√2］
＝［（√3－1）/2］/［（2＋√3－1）/√2］＝［（√3－1）/（√3＋1）］/√2.
∵∠AD1E＝∠ADE＝90°、AG＝EG,∴D1G＝AE/2＝√2/2＝1/√2.
∴cos∠D1GH＝HG/D1G＝（√3－1）/（√3＋1）＝（√3－1）^2/（3－1）＝2－√3.
∵GD1⊥AE、GH⊥AE,而GH显然在平面ABC上,∴∠D1GH为二面角D1－AE－B的平面角.
∴二面角D1－AE－B的平面角的余弦值是：2－√3.