如图,在等腰RT△ABC中,∠C=90°,D是斜边AB上任意一点,AE⊥CD于点E,BF⊥CD交CD的延长线于点F,CH⊥AB于点H,交AE于点G. 求证； BD=CG
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/06 05:45:48
如图,在等腰RT△ABC中,∠C=90°,D是斜边AB上任意一点,AE⊥CD于点E,BF⊥CD交CD的延长线于点F,CH⊥AB于点H,交AE于点G. 求证； BD=CG
如图,在等腰RT△ABC中,∠C=90°,D是斜边AB上任意一点,AE⊥CD于点E,BF⊥CD交CD的延长线于点F,CH⊥AB于点H,交AE于点G.
求证； BD=CG
如图,在等腰RT△ABC中,∠C=90°,D是斜边AB上任意一点,AE⊥CD于点E,BF⊥CD交CD的延长线于点F,CH⊥AB于点H,交AE于点G. 求证； BD=CG
证明：
∵Rt△ABC是等腰三角形
∴AC=CB
又：∠ACE+∠FCB=90°,
∠FCB+∠FBC=90°
∴∠ACE=∠FBC
∵∠AEC=∠CFB=90°
∴△ACE≌△CBF（AAS）
∴CE=BF
∵∠HCD+∠HDC+∠CHD=180°
∠F+∠FBD+∠FDB=180°
又∠F=∠CHD=90°,∠HDC=∠FDB
∴∠GCE=∠DBF
∴△CEG≌△BFD（AAS）
∴BD=CG
证BDF和CGE两三角形相等
先证明三角形AEC全等于三角形CFB
得出CE=FB
然后证明角FBD=角ECG
就可证明三角形CEG全等于三角形BFD
得出结论BD=CG
∵AE⊥CD于点E，BF⊥CD交CD的延长线于点F，CH⊥AB于点H，交AE于点G。
∴∠CEG=90°，∠BFD=90°，∠F=90°
∵,∠C=90°
∴,∠ACE=∠C-∠BCF=90°-∠BCF
∵在△CBF中，∠F+∠FBC+∠BCF=180°，∠F=90°
∴∠BCF+∠FBC=90°∴∠FBC=90°-∠BCF
∴∠FBC=∠ACE
全部展开
∵AE⊥CD于点E，BF⊥CD交CD的延长线于点F，CH⊥AB于点H，交AE于点G。
∴∠CEG=90°，∠BFD=90°，∠F=90°
∵,∠C=90°
∴,∠ACE=∠C-∠BCF=90°-∠BCF
∵在△CBF中，∠F+∠FBC+∠BCF=180°，∠F=90°
∴∠BCF+∠FBC=90°∴∠FBC=90°-∠BCF
∴∠FBC=∠ACE
∵△ABC是等腰三角形
∴AC=CB
在△CAE和△BCF中{∠C=∠F，∠FBC=∠ACE，AC=CB｝
∴△CAE≌△BCF（AAS）
∴CE=BF
∵∠CDH=∠BDF,∠CHD=∠F=90°
∴180°-∠CDH-∠CHD=∠DCH（即∠ECG），180°-∠BDF-∠F=∠FBD
∴∠DCH=∠FBD
在△ECG和△FBD中{∠DCH=∠FBD，CE=BF，∠CEG=∠F}
所以△ECG≌△FBD（ASA）
∴BD=CG
收起