已知,如图在矩形ABCD中,E为AD中点,EF⊥EC交AB于F,连结FC(AB>AE)设AB：BC=K,是否存在这样的K值,使得△AEF∽△BFC,若存在,证明你的结论并求出K的值；若不存在,说明理由.
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/19 09:10:46
已知,如图在矩形ABCD中,E为AD中点,EF⊥EC交AB于F,连结FC(AB>AE)设AB：BC=K,是否存在这样的K值,使得△AEF∽△BFC,若存在,证明你的结论并求出K的值；若不存在,说明理由.
已知,如图在矩形ABCD中,E为AD中点,EF⊥EC交AB于F,连结FC(AB>AE)
设AB：BC=K,是否存在这样的K值,使得△AEF∽△BFC,若存在,证明你的结论并求出K的值；若不存在,说明理由.
已知,如图在矩形ABCD中,E为AD中点,EF⊥EC交AB于F,连结FC(AB>AE)设AB：BC=K,是否存在这样的K值,使得△AEF∽△BFC,若存在,证明你的结论并求出K的值；若不存在,说明理由.
设AD=2x,AB=b,DG=AF=a,则FB=b-a,
∵∠GEC=90°,ED⊥CD,
∴ED2=GD•CD
∴x2=ab,
假定△AEF与△BFC相似,则有两种情况：
一是∠AFE=∠BCF；则∠AFE与∠BFC互余,于是∠EFC=90°,因此此种情况是不成立的．
二是∠AFE=∠BFC．
根据△AEF∽△BFC,
于是：AF：AE =BF ：BC
即a ：x =b-a ：2x ,得b=3a
所以x2=ab=3a2,因此x=√3a
于是k=AB ：BC =b ：2x =3a ：2 √3 a = √3：2 ．
（1）△AEF∽△ECF．证明如下：
延长FE与CD的延长线交于G，
∵E为AD的中点，AE=DE，∠AEF=∠GED，
∴Rt△AEF≌Rt△DEG．
∴EF=EG．
∵CE=CE，∠FEC=∠CEG=90°，
∴Rt△EFC≌Rt△EGC．
∴∠AFE=∠EGC=∠EFC．
又∵∠A=∠FEC=90°，
∴Rt△AEF∽R...
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（1）△AEF∽△ECF．证明如下：
延长FE与CD的延长线交于G，
∵E为AD的中点，AE=DE，∠AEF=∠GED，
∴Rt△AEF≌Rt△DEG．
∴EF=EG．
∵CE=CE，∠FEC=∠CEG=90°，
∴Rt△EFC≌Rt△EGC．
∴∠AFE=∠EGC=∠EFC．
又∵∠A=∠FEC=90°，
∴Rt△AEF∽Rt△ECF．
（2）设AD=2x，AB=b，DG=AF=a，则FB=b-a，
∵∠GEC=90°，ED⊥CD，
∴ED2=GD•CD
∴x2=ab，
假定△AEF与△BFC相似，则有两种情况：
一是∠AFE=∠BCF；则∠AFE与∠BFC互余，于是∠EFC=90°，因此此种情况是不成立的．
二是∠AFE=∠BFC．
根据△AEF∽△BFC，
于是：AF AE =BF BC ，即a x =b-a 2x ，得b=3a．
所以x2=ab=3a2，因此x= 3 a，
于是k=AB BC =b 2x =3a 2 3 a = 3 2 ．
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．（1）相似，如图2，证明：延长EF与CD的延长线交于点G．在Rt△AEF与Rt△DEG中，∵ E是AD的中点，∴ AE＝ED．∠AEF＝∠DEG，∴ △AFE≌△DGE．∴ △AFE＝△DGE．∴ E为FG的中点．又CE⊥FG，∴ FC＝GC．∴ ∠CFE＝∠G．∴ ∠AFE＝∠EFC．又△AEF与△EFC均为五角三角形，∴ △AEF∽△EFC．
（2）①存在．如果∠BCF＝∠AEF，...
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．（1）相似，如图2，证明：延长EF与CD的延长线交于点G．在Rt△AEF与Rt△DEG中，∵ E是AD的中点，∴ AE＝ED．∠AEF＝∠DEG，∴ △AFE≌△DGE．∴ △AFE＝△DGE．∴ E为FG的中点．又CE⊥FG，∴ FC＝GC．∴ ∠CFE＝∠G．∴ ∠AFE＝∠EFC．又△AEF与△EFC均为五角三角形，∴ △AEF∽△EFC．
（2）①存在．如果∠BCF＝∠AEF，即k＝23=BCAB时，△AEF∽△BCF．证：当23=BCAB时，3=DEDC．∴ ∠ECG＝30°．∴ ∠ECG＝∠ECF＝∠AEF＝30°，∴ ∠BCF＝90°－60°＝30°．又△AEF和△BCF均为直角三角形．∴ △AEF∽△BCF． ②因为EF不平行于BC，∴ ∠BCF≠∠AFE．∴ 不存在第二种相似情况．
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